哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
七、 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$ 作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确几何重数与代数重数的定义
设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征值。几何重数 $g = n - r(\lambda_0 E - A)$，即特征空间 $V_{\lambda_0} = \{x \mid (\lambda_0 E - A)x = 0\}$ 的维数。代数重数 $m$ 是特征多项式 $|\lambda E - A|$ 中因子 $(\lambda - \lambda_0)^m$ 的指数。
公式：g = n - r(\lambda_0 E - A), \quad m = \text{重根次数}
提示：注意几何重数是特征空间的维数，代数重数是特征多项式根的重数。
步骤 2/6
目标：引入Jordan标准形
存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP = J$ 为 Jordan 标准形。$J$ 是分块对角矩阵，每个 Jordan 块 $J(\lambda, k)$ 形如 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}_{k \times k}$。
公式：P^{-1}AP = J = \operatorname{diag}(J_1, J_2, \dots, J_s)
提示：Jordan标准形存在性依赖于复数域，但结论对任意域也成立（考虑代数闭包）。
步骤 3/6
目标：分析特征值对应的Jordan块
设 $\lambda_0$ 对应的 Jordan 块有 $t$ 个，阶数分别为 $n_1, n_2, \dots, n_t$。则代数重数 $m = \sum_{i=1}^t n_i$，因为特征多项式 $|\lambda E - A| = \prod_{i=1}^t (\lambda - \lambda_0)^{n_i} \times \text{其他因子}$。
公式：m = \sum_{i=1}^t n_i
提示：注意不同特征值的Jordan块互不影响。
步骤 4/6
目标：计算几何重数
几何重数 $g$ 等于特征值 $\lambda_0$ 的线性无关特征向量的个数。在 Jordan 标准形中，每个 Jordan 块 $J(\lambda_0, n_i)$ 恰好提供一个线性无关的特征向量（即 $(1,0,\dots,0)^T$ 对应的向量）。因此 $g = t$。
公式：g = t
提示：注意：若Jordan块阶数大于1，则广义特征向量不是特征向量。
步骤 5/6
目标：比较几何重数与代数重数
由于每个 Jordan 块的阶数 $n_i \geq 1$，故 $t \leq \sum_{i=1}^t n_i = m$，即 $g \leq m$。
公式：t \leq \sum_{i=1}^t n_i \Rightarrow g \leq m
提示：等号成立当且仅当所有Jordan块阶数为1，即矩阵可对角化。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，特征值 $\lambda_0$ 的几何重数不超过其代数重数。
提示：该结论是线性代数中基本不等式，常用于判断矩阵是否可对角化。
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