哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题

对矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$ 进行初等行变换： $r_2 - r_1$，$r_4 - r_1$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$； 交换 $r_2$ 与 $r_3$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$； $r_3 + 2r_2$，$r_4 - r_2$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 7 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$； $r_4 - \frac{1}{7}r_3$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 7 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。

行阶梯形矩阵有3个非零行，所以 $r(A)=3$。

由于 $r(A)=3$，$A$ 是 $4\times4$ 矩阵，所以 $\det(A)=0$。伴随矩阵 $A^*$ 满足 $AA^* = \det(A)I = 0$，因此 $A^*$ 的列向量都是 $Ax=0$ 的解。又因为 $r(A)=3$，所以 $Ax=0$ 的解空间维数为 $4-3=1$。而 $A^*$ 非零（因为 $r(A)=3$ 时 $A^*$ 的秩为1），所以 $A^*$ 的列向量张成 $Ax=0$ 的解空间。

由行阶梯形矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，令 $x_4$ 为自由变量。从第三行得 $x_3 + x_4 = 0 \Rightarrow x_3 = -x_4$；第二行：$x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0 \Rightarrow x_2 + 3(-x_4) + 4x_4 = 0 \Rightarrow x_2 = -x_4$；第一行：$x_1 + x_2 + 2x_4 = 0 \Rightarrow x_1 + (-x_4) + 2x_4 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_4$。所以解向量为 $x = x_4(-1, -1, -1, 1)^T$，基础解系为 $\xi = (-1, -1, -1, 1)^T$。

由于 $A^*$ 的列向量都是 $\xi$ 的倍数，所以 $A^*x=0$ 的解空间是 $\mathbb{R}^4$ 中与 $\xi$ 正交的子空间，即 $V = \{x \in \mathbb{R}^4 \mid \xi^T x = 0\}$，也就是 $-x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 0$。

方程 $-x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 0$ 中，自由变量为 $x_2, x_3, x_4$。令 $x_2=1, x_3=0, x_4=0$，得 $x_1 = -1$，得 $\alpha_1 = (-1, 1, 0, 0)^T$；令 $x_2=0, x_3=1, x_4=0$，得 $x_1 = -1$，得 $\alpha_2 = (-1, 0, 1, 0)^T$；令 $x_2=0, x_3=0, x_4=1$，得 $x_1 = 1$，得 $\alpha_3 = (1, 0, 0, 1)^T$。因此基础解系为 $\{(-1,1,0,0)^T, (-1,0,1,0)^T, (1,0,0,1)^T\}$。