哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题
📝 题目
3．若 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，则 $n$ 一定是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，即 $A^T = -A$ 且 $\det(A) \neq 0$。
公式：反对称矩阵定义：$A^T = -A$
提示：注意可逆意味着行列式非零，这是后续推导的关键。
步骤 2/8
目标：对等式两边取行列式
由 $A^T = -A$，两边取行列式得 $\det(A^T) = \det(-A)$。
公式：行列式性质：$\det(A^T) = \det(A)$
提示：取行列式时注意矩阵乘法不满足交换律，但这里直接对等式两边取行列式是合法的。
步骤 3/8
目标：利用行列式性质化简左边
因为 $\det(A^T) = \det(A)$，所以左边等于 $\det(A)$。
公式：$\det(A^T) = \det(A)$
提示：这是行列式的基本性质，不要忘记。
步骤 4/8
目标：利用行列式性质化简右边
对于 $n$ 阶矩阵 $-A$，有 $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$。
公式：$\det(kA) = k^n \det(A)$，其中 $k$ 是常数
提示：注意是 $(-1)^n$ 而不是 $(-1)$，因为提取每个行或列的因子。
步骤 5/8
目标：得到关于行列式的方程
代入得 $\det(A) = (-1)^n \det(A)$。
提示：此时方程两边都有 $\det(A)$，注意 $\det(A) \neq 0$。
步骤 6/8
目标：利用可逆性消去行列式
由于 $A$ 可逆，$\det(A) \neq 0$，两边除以 $\det(A)$ 得 $1 = (-1)^n$。
提示：除以 $\det(A)$ 是合法的，因为行列式非零。
步骤 7/8
目标：解方程确定 n 的奇偶性
方程 $(-1)^n = 1$ 成立当且仅当 $n$ 是偶数。
公式：$(-1)^n = 1$ 当且仅当 $n$ 为偶数
提示：注意 $n$ 是整数，$(-1)^n$ 在 $n$ 为奇数时等于 $-1$，偶数时等于 $1$。
步骤 8/8
目标：得出结论
因此 $n$ 一定是偶数。
提示：最终答案：$n$ 为偶数。
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