哈尔滨工程大学 2006年高等代数第0题

因为 $A, B$ 为正交矩阵，所以 $A^T A = I$, $B^T B = I$，且 $|A| = \pm 1$, $|B| = \pm 1$。已知 $|AB| = |A||B| = -1$，故 $|A|$ 与 $|B|$ 异号。不妨设 $|A| = 1$, $|B| = -1$。

考虑 $|A+B|$。利用正交性，有 $|A+B| = |A^T(A+B)| = |I + A^T B|$。令 $C = A^T B$，则 $C$ 为正交矩阵且 $|C| = |A^T||B| = |A||B| = -1$。于是问题转化为求 $|I+C|$，其中 $C$ 正交且 $|C| = -1$。

由于 $C$ 是正交矩阵，其特征值均为模为1的复数，且成对共轭出现。又 $|C| = -1$，故特征值中 $-1$ 的个数为奇数。考虑 $I+C$，其特征值为 $1+\lambda$，其中 $\lambda$ 是 $C$ 的特征值。则 $|I+C| = \prod (1+\lambda)$。

若 $\lambda = -1$，则 $1+\lambda = 0$，从而 $|I+C| = 0$。我们需要判断是否一定存在特征值 $-1$。由于 $|C| = -1$，且实正交矩阵的特征多项式为实系数，奇数维时必有实特征值，且乘积为负，故必有特征值 $-1$；偶数维时，特征值成对共轭，乘积为负，也必有一对实特征值乘积为负，但可能为 $1$ 和 $-1$ 或两个 $-1$ 等。实际上，对于正交矩阵，若行列式为 $-1$，则 $-1$ 一定是其特征值（因为特征多项式在实数域上可分解为一次和二次因式，且常数项为 $(-1)^n |C| = (-1)^{n+1}$，代入 $-1$ 得 $(-1)^n + \cdots + (-1)^{n+1}$，但更直接地，考虑 $C$ 的实规范形，行列式为 $-1$ 意味着 $-1$ 的代数重数为奇数，故至少有一个 $-1$）。因此，$C$ 有特征值 $-1$，从而 $|I+C| = 0$。

所以 $|A+B| = 0$。