哈尔滨工程大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分）
（1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
（5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组
$$
b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3}
$$
线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为
$\displaystyle \_\_\_\_$。
（8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
（10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：确定最小数域F的基
题目要求F是同时包含$\mathbb{Q}$和$\{\sqrt{2},\sqrt{3}\}$的最小域，即$F=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$。由于$\sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}$也在F中，且$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$在$\mathbb{Q}$上线性无关，故F作为$\mathbb{Q}$上的线性空间的一组基为$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$。因此空白处应填$\sqrt{6}$。
提示：注意域扩张的基包含所有乘积，不要遗漏$\sqrt{6}$。
步骤 2/10
目标：求解多项式有重根的条件
设$f(x)=x^3+px+1$，重根条件为$f(x)$与$f'(x)=3x^2+p$有公根。联立方程：$x^3+px+1=0$和$3x^2+p=0$。由第二式得$x^2=-p/3$，代入第一式得$x(-p/3)+px+1=0$，即$(-p/3+p)x+1=0$，即$(2p/3)x+1=0$，解得$x=-3/(2p)$。再代入$3x^2+p=0$得$3\cdot\frac{9}{4p^2}+p=0$，即$\frac{27}{4p^2}+p=0$，整理得$p^3=-\frac{27}{4}$。因此$p$满足$p^3=-\frac{27}{4}$。
公式：重根条件：$f(x)$与$f'(x)$有公根
提示：注意消元过程要仔细，避免代数错误。
步骤 3/10
目标：计算分块矩阵的行列式
给定矩阵$\begin{pmatrix} & & A \\ & B & \\ C & & \end{pmatrix}$，其中$A,B,C$分别为$k\times k,l\times l,m\times m$矩阵，且行列式均为1。该矩阵是通过将$A,B,C$放在反对角线上得到的。通过行交换和列交换可将其化为分块对角矩阵$\operatorname{diag}(A,B,C)$。交换次数：将$A$移到左上角需交换$k$行与$l+m$行？更准确：原矩阵行顺序为：先$C$的行（$m$行），再$B$的行（$l$行），最后$A$的行（$k$行）。要变成$A,B,C$顺序，需将$A$的行移到最前面，涉及$k$行与前面$l+m$行交换，共$k(l+m)$次行交换；类似地，列交换次数为$k(l+m)$？实际上，行列交换总次数为$kl+lm+mk$。因此行列式值为$(-1)^{kl+lm+mk}\det(A)\det(B)\det(C)=(-1)^{kl+lm+mk}$。
公式：行列式交换行/列变号
提示：注意交换顺序和符号计算，避免遗漏交换次数。
步骤 4/10
目标：计算矩阵行列式$|E-\alpha^T\alpha|$
设$\alpha=(a,b,c,d)$为行向量，则$\alpha^T\alpha$是$4\times4$矩阵，$E$是单位矩阵。利用矩阵行列式公式：$|E-\alpha^T\alpha|=1-\alpha\alpha^T$，其中$\alpha\alpha^T=a^2+b^2+c^2+d^2$。因此结果为$1-(a^2+b^2+c^2+d^2)$。
公式：$|I-uv^T|=1-v^Tu$
提示：注意公式中$\alpha\alpha^T$是数量，不要混淆矩阵乘法顺序。
步骤 5/10
目标：判断向量组线性无关的充要条件
向量组$\beta_j=\sum_{i=1}^3 b_{ji}\alpha_i$，其中$\alpha_i$线性无关。则$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性无关当且仅当系数矩阵$B=(b_{ij})$的行列式非零，即$\det(B)\neq0$。这是因为$\alpha_i$构成一组基，坐标变换矩阵为$B$，线性无关等价于$B$可逆。
公式：线性无关等价于坐标变换矩阵可逆
提示：注意系数矩阵的行列式非零，而不是其他条件。
步骤 6/10
目标：求解齐次线性方程组解空间的维数
设$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$，$r(A)=r$。考虑集合$\{X\in\mathbb{R}^{n\times s}\mid AX=0\}$，即所有$n\times s$矩阵$X$满足$AX=0$。将$X$按列分块为$X=(x_1,\dots,x_s)$，则$Ax_j=0$对每个$j$成立。每个$x_j$属于$A$的零空间，维数为$n-r$。因此$X$的维数为$s(n-r)$。
公式：零空间维数$=n-\operatorname{rank}(A)$
提示：注意是矩阵空间，维数要乘以列数$s$。
步骤 7/10
目标：求微分算子的最小多项式
在$F[x]_n$（次数小于$n$的多项式空间）上，微分算子$\mathcal{D}$满足$\mathcal{D}^n=0$（因为$n$次多项式求$n$阶导为零），但$\mathcal{D}^{n-1}\neq0$（例如对$x^{n-1}$求$n-1$阶导得常数）。因此最小多项式为$\lambda^n$。
公式：幂零指数为$n$，最小多项式为$\lambda^n$
提示：注意空间维数$n$与多项式次数的关系。
步骤 8/10
目标：求线性变换像空间的最大维数
设$\sigma$是$n$维空间$V$上的线性变换，满足$\sigma^2=0$。则$\operatorname{Im}\sigma\subseteq\ker\sigma$，故$\dim\operatorname{Im}\sigma\leq\dim\ker\sigma$。又$\dim\ker\sigma=n-\dim\operatorname{Im}\sigma$，代入得$\dim\operatorname{Im}\sigma\leq n-\dim\operatorname{Im}\sigma$，即$2\dim\operatorname{Im}\sigma\leq n$，所以$\dim\operatorname{Im}\sigma\leq \lfloor n/2\rfloor$。最大值为$\lfloor n/2\rfloor$。
公式：$\sigma^2=0\Rightarrow \operatorname{Im}\sigma\subseteq\ker\sigma$
提示：注意取整，当$n$为奇数时最大为$(n-1)/2$。
步骤 9/10
目标：计算实对称矩阵的合同分类数
实对称矩阵按合同分类由惯性指数$(p,q)$决定，其中$p$为正惯性指数，$q$为负惯性指数，且$p+q\leq n$（$n$为阶数）。$p,q$为非负整数，满足$p+q\leq n$。这样的有序对$(p,q)$个数为：$p$可取$0$到$n$，$q$可取$0$到$n-p$，故总数为$\sum_{p=0}^n (n-p+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
公式：惯性指数$(p,q)$满足$p+q\leq n$
提示：注意包括$p+q
步骤 10/10
目标：计算4阶幂零矩阵的相似分类数
复数域上幂零矩阵的相似类由Jordan标准形决定，Jordan块特征值全为0。对于4阶矩阵，可能的Jordan块划分（即各块大小之和为4）有：4；3+1；2+2；2+1+1；1+1+1+1。共5种。因此分为5类。
公式：Jordan块划分对应整数分拆
提示：注意分拆不考虑顺序，只考虑块的大小组合。
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