📝 哈尔滨工程大学 2007年高等代数真题
第0题
一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分）
（1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
（5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组
$$
b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3}
$$
线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为
$\displaystyle \_\_\_\_$。
（8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
（10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
（1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
（5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组
$$
b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3}
$$
线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为
$\displaystyle \_\_\_\_$。
（8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
（10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
第0题
七、（本题 15 分）用数学归纳法证明：在复数域内，任意一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵都相似于一个上三角阵。
第0题
三、（本题 20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$ ．
（1）求一正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 为对角阵；
（2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．
（1）求一正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 为对角阵；
（2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．
第0题
二、（本题 20 分）$\displaystyle V=\mathbb{R}^{3 \times 3}$ 视为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}$ ，
$\displaystyle W_{2}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}$.
（1）求证 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 为 $V$ 的子空间，并分别写出 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 的一个基；
（2）求证：$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
$\displaystyle W_{2}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}$.
（1）求证 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 为 $V$ 的子空间，并分别写出 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 的一个基；
（2）求证：$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
第0题
五、（本题 15 分）复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的一切 $\displaystyle n \times n$ 矩阵的集合 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性空间，对任何选定的矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，定义映射 $\displaystyle \phi_{A}: \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}, ~ X \rightarrow A X-X A$ ．
（1）求证 $\displaystyle \phi_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 上的线性变换；
（2）若矩阵 $A$ 可对角化，求证线性变换 $\displaystyle \phi_{A}$ 也可对角化．
（1）求证 $\displaystyle \phi_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 上的线性变换；
（2）若矩阵 $A$ 可对角化，求证线性变换 $\displaystyle \phi_{A}$ 也可对角化．
第0题
八、（本题10分）设 $V$ 为数域 上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上可对角化的线性变换， $\displaystyle 0 \neq v \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{2} v=0$ ，求证 0 为 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，且 $v$ 为一个对应的特征向量．
第0题
六、（本题 10 分）设 $V$ 为数域 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，证明： $\displaystyle V=\sigma^{n}(V) \oplus \operatorname{Ker}\left(\sigma^{n}\right)$
第0题
四、（本题 10 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为数域 上的方阵，令 $\displaystyle A^{s}$ 为将 $A$ 中的每个元素 $\displaystyle a_{i j}$ 换为 $\displaystyle a_{n+1-i, n+1-j}$ 所得到的矩阵。例如，$\displaystyle \left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)^{s}=\left(\begin{array}{ll}a_{22} & a_{21} \\ a_{12} & a_{11}\end{array}\right)$ ，求证 $A$ 与 $\displaystyle A^{s}$ 相似．