哈尔滨工程大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
二、（本题 20 分）$\displaystyle V=\mathbb{R}^{3 \times 3}$ 视为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}$ ，
$\displaystyle W_{2}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}$.
（1）求证 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 为 $V$ 的子空间，并分别写出 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 的一个基；
（2）求证：$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明W1是子空间
首先，$W_1 = \{A \in V \mid A^T = A\}$ 是对称矩阵集合。
- 零矩阵 $O$ 满足 $O^T = O$，故 $O \in W_1$。
- 对任意 $A, B \in W_1$，有 $(A+B)^T = A^T + B^T = A + B$，故 $A+B \in W_1$。
- 对任意 $k \in \mathbb{R}$，$A \in W_1$，有 $(kA)^T = kA^T = kA$，故 $kA \in W_1$。
因此 $W_1$ 是 $V$ 的子空间。
公式：$(A+B)^T = A^T + B^T$, $(kA)^T = kA^T$
提示：注意验证子空间的三条：包含零元、加法封闭、数乘封闭。
步骤 2/7
目标：证明W2是子空间
$W_2 = \{A \in V \mid A^T = -A\}$ 是反对称矩阵集合。
- 零矩阵 $O$ 满足 $O^T = -O$，故 $O \in W_2$。
- 对任意 $A, B \in W_2$，有 $(A+B)^T = A^T + B^T = -A - B = -(A+B)$，故 $A+B \in W_2$。
- 对任意 $k \in \mathbb{R}$，$A \in W_2$，有 $(kA)^T = kA^T = -kA$，故 $kA \in W_2$。
因此 $W_2$ 是 $V$ 的子空间。
公式：$(A+B)^T = A^T + B^T$, $(kA)^T = kA^T$
提示：注意反对称矩阵定义中的负号。
步骤 3/7
目标：写出W1的一个基
对称矩阵有6个自由参数，基可取为：
$E_{11}, E_{22}, E_{33}$（对角元），以及 $E_{12}+E_{21}, E_{13}+E_{31}, E_{23}+E_{32}$（非对角元）。
即：
$$
\begin{aligned}
&\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\\
&\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}.
\end{aligned}
$$
提示：注意对称矩阵的基要体现对称性，非对角元用和的形式。
步骤 4/7
目标：写出W2的一个基
反对称矩阵有3个自由参数，基可取为：
$E_{12}-E_{21}, E_{13}-E_{31}, E_{23}-E_{32}$。
即：
$$
\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}.
$$
提示：注意反对称矩阵对角元必须为零，非对角元用差的形式。
步骤 5/7
目标：证明W1∩W2={0}
若 $A \in W_1 \cap W_2$，则 $A^T = A$ 且 $A^T = -A$，所以 $A = -A$，即 $2A=0$，故 $A=O$。因此 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
提示：注意零矩阵是唯一的既对称又反对称的矩阵。
步骤 6/7
目标：证明V=W1+W2
对任意 $A \in V$，令 $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$，$C = \frac{1}{2}(A - A^T)$。则 $B^T = \frac{1}{2}(A^T + A) = B$，故 $B \in W_1$；$C^T = \frac{1}{2}(A^T - A) = -C$，故 $C \in W_2$。且 $A = B + C$。因此 $V = W_1 + W_2$。
公式：$B = \frac{1}{2}(A + A^T)$, $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$
提示：注意分解的唯一性由交为零保证，但这里先证明和等于全空间。
步骤 7/7
目标：总结直和
由 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ 和 $V = W_1 + W_2$，根据直和的定义，$V = W_1 \oplus W_2$。
提示：直和需要同时满足交为零且和等于全空间。
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