哈尔滨工程大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
八、（本题10分）设 $V$ 为数域 上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上可对角化的线性变换， $\displaystyle 0 \neq v \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{2} v=0$ ，求证 0 为 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，且 $v$ 为一个对应的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知 $\sigma$ 是 $V$ 上可对角化的线性变换，且存在非零向量 $v \in V$ 使得 $\sigma^2 v = 0$。要证明 $0$ 是 $\sigma$ 的特征值且 $v$ 是对应的特征向量。
提示：注意 $\sigma^2 v = 0$ 意味着 $\sigma(\sigma(v)) = 0$，但 $\sigma(v)$ 可能为零也可能非零。
步骤 2/7
目标：考虑 $\sigma(v)$ 是否为零
若 $\sigma(v) = 0$，则直接得到 $0$ 是特征值且 $v$ 是特征向量，结论成立。因此只需考虑 $\sigma(v) \neq 0$ 的情况，并推出矛盾。
提示：分情况讨论是常见思路，注意不要遗漏 $\sigma(v)=0$ 的情况。
步骤 3/7
目标：利用可对角化性质表示 $\sigma(v)$
由于 $\sigma$ 可对角化，存在一组由特征向量组成的基。设 $\sigma(v) = \sum_i a_i e_i$，其中 $e_i$ 是特征向量，对应特征值 $\lambda_i$。则 $\sigma^2(v) = \sigma(\sigma(v)) = \sum_i a_i \lambda_i e_i = 0$。
公式：$\sigma^2(v) = \sum_i a_i \lambda_i e_i = 0$
提示：特征向量线性无关，因此系数全为零。
步骤 4/7
目标：推导 $\sigma(v)$ 的特征值性质
由 $\sum_i a_i \lambda_i e_i = 0$ 及 $e_i$ 线性无关得 $a_i \lambda_i = 0$ 对所有 $i$。因此若 $\lambda_i \neq 0$，则 $a_i = 0$。故 $\sigma(v)$ 中非零系数只对应 $\lambda_i = 0$ 的特征向量，即 $\sigma(v)$ 是特征值 $0$ 的特征向量。
公式：$a_i \lambda_i = 0$
提示：注意 $\sigma(v) \neq 0$，所以至少有一个 $a_i \neq 0$，从而对应的 $\lambda_i = 0$。
步骤 5/7
目标：表示 $v$ 并利用 $\sigma(v)$ 的性质
将 $v$ 也表示为特征向量的线性组合：$v = \sum_i b_i e_i$。则 $\sigma(v) = \sum_i b_i \lambda_i e_i$。由于 $\sigma(v)$ 是特征值 $0$ 的特征向量，且 $\sigma(v) \neq 0$，故 $\sigma(v)$ 中非零系数只对应 $\lambda_i = 0$ 的特征向量。因此对于 $\lambda_i \neq 0$，有 $b_i \lambda_i = 0$，即 $b_i = 0$。
公式：$\sigma(v) = \sum_i b_i \lambda_i e_i$
提示：注意 $\sigma(v)$ 的两种表示应一致，从而得到系数关系。
步骤 6/7
目标：推出矛盾
由 $b_i = 0$ 对 $\lambda_i \neq 0$ 成立，可知 $v$ 中非零系数只对应 $\lambda_i = 0$ 的特征向量，故 $v$ 本身是特征值 $0$ 的特征向量，即 $\sigma(v) = 0$，这与假设 $\sigma(v) \neq 0$ 矛盾。
提示：矛盾表明假设不成立，因此 $\sigma(v)=0$ 必然成立。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $\sigma(v) = 0$，即 $0$ 是 $\sigma$ 的特征值，且 $v$ 是对应的特征向量。
提示：结论直接由 $\sigma(v)=0$ 得到。
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