哈尔滨工程大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
六、（本题 10 分）设 $V$ 为数域 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，证明： $\displaystyle V=\sigma^{n}(V) \oplus \operatorname{Ker}\left(\sigma^{n}\right)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立子空间链并找到稳定指数
考虑子空间链：$V \supseteq \sigma(V) \supseteq \sigma^2(V) \supseteq \cdots \supseteq \sigma^n(V) \supseteq \cdots$。由于$V$是$n$维的，维数递减，因此存在最小整数$k$使得$\sigma^k(V) = \sigma^{k+1}(V)$，且$k \leq n$。此时$\sigma^k(V) = \sigma^{k+1}(V) = \cdots$，特别地$\sigma^n(V) = \sigma^{2n}(V)$。
公式：$\sigma^k(V) = \sigma^{k+1}(V)$
提示：注意$k$的存在性依赖于有限维，且$k \leq n$。
步骤 2/4
目标：证明交为零：$\sigma^n(V) \cap \ker(\sigma^n) = \{0\}$
取$x \in \sigma^n(V) \cap \ker(\sigma^n)$，则存在$y \in V$使得$x = \sigma^n(y)$，且$\sigma^n(x)=0$。于是$\sigma^{2n}(y)=0$。由于$\sigma^n(V) = \sigma^{2n}(V)$，存在$z \in V$使得$\sigma^n(y) = \sigma^{2n}(z)$，从而$\sigma^n(y - \sigma^n(z)) = 0$，即$y - \sigma^n(z) \in \ker(\sigma^n)$。但$\sigma^n(y) = \sigma^{2n}(z)$，所以$x = \sigma^n(y) = \sigma^{2n}(z) = \sigma^n(\sigma^n(z))$。令$w = \sigma^n(z)$，则$x = \sigma^n(w)$且$w \in \sigma^n(V)$。由于$\sigma^n(x)=0$，有$\sigma^{2n}(w)=0$。但$\sigma^n$在$\sigma^n(V)$上是可逆的（因为$\sigma^n(V) = \sigma^{2n}(V)$且维数有限），所以$w=0$，从而$x=0$。
公式：$\sigma^n(V) = \sigma^{2n}(V)$
提示：注意$\sigma^n$在$\sigma^n(V)$上的可逆性需要论证：由$\sigma^n(V) = \sigma^{2n}(V)$知$\sigma^n$限制在$\sigma^n(V)$上是满射，有限维下也是单射。
步骤 3/4
目标：证明和为全空间：$V = \sigma^n(V) + \ker(\sigma^n)$
对任意$v \in V$，考虑$\sigma^n(v) \in \sigma^n(V)$。由于$\sigma^n(V) = \sigma^{2n}(V)$，存在$u \in V$使得$\sigma^n(v) = \sigma^{2n}(u)$。则$\sigma^n(v - \sigma^n(u)) = 0$，即$v - \sigma^n(u) \in \ker(\sigma^n)$。于是$v = \sigma^n(u) + (v - \sigma^n(u)) \in \sigma^n(V) + \ker(\sigma^n)$。
公式：$\sigma^n(v) = \sigma^{2n}(u)$
提示：注意$u$的存在性依赖于$\sigma^n(V) = \sigma^{2n}(V)$。
步骤 4/4
目标：总结直和分解
由前两步，$\sigma^n(V) \cap \ker(\sigma^n) = \{0\}$且$V = \sigma^n(V) + \ker(\sigma^n)$，因此$V = \sigma^n(V) \oplus \ker(\sigma^n)$。
提示：直和需要同时满足交为零且和为全空间。
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