哈尔滨工程大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
四、（本题 10 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为数域 上的方阵，令 $\displaystyle A^{s}$ 为将 $A$ 中的每个元素 $\displaystyle a_{i j}$ 换为 $\displaystyle a_{n+1-i, n+1-j}$ 所得到的矩阵。例如，$\displaystyle \left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)^{s}=\left(\begin{array}{ll}a_{22} & a_{21} \\ a_{12} & a_{11}\end{array}\right)$ ，求证 $A$ 与 $\displaystyle A^{s}$ 相似．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义反单位矩阵J
设 $J$ 为 $n$ 阶反单位矩阵，即 $J = (\delta_{i, n+1-j})$，其中 $\delta_{i,j}$ 是 Kronecker 符号。例如，当 $n=2$ 时，$J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$J_{ij} = \delta_{i, n+1-j}$
提示：注意 $J$ 的索引：第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\delta_{i, n+1-j}$，即当 $i = n+1-j$ 时为1，否则为0。
步骤 2/5
目标：验证J的性质
计算 $J^2$：$(J^2)_{ij} = \sum_{k=1}^n J_{ik} J_{kj} = \sum_{k=1}^n \delta_{i, n+1-k} \delta_{k, n+1-j}$。只有当 $i = n+1-k$ 且 $k = n+1-j$ 时，即 $i = j$ 时，项为1，否则为0。因此 $J^2 = I$。同时 $J^T = J$，因为 $J_{ij} = \delta_{i, n+1-j} = \delta_{j, n+1-i} = J_{ji}$。
公式：$J^2 = I$, $J^T = J$
提示：注意 $J$ 是对称且正交的，但这里只需可逆性。
步骤 3/5
目标：计算J A J
对于任意 $n$ 阶矩阵 $A = (a_{ij})$，计算 $(J A J)_{ij}$：
$$(J A J)_{ij} = \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n J_{ik} a_{kl} J_{lj} = \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n \delta_{i, n+1-k} a_{kl} \delta_{l, n+1-j}.$$
由于 $\delta_{i, n+1-k}$ 非零仅当 $k = n+1-i$，$\delta_{l, n+1-j}$ 非零仅当 $l = n+1-j$，因此
$$(J A J)_{ij} = a_{n+1-i, n+1-j}.$$
公式：$(J A J)_{ij} = a_{n+1-i, n+1-j}$
提示：注意求和时只有一项非零，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：得出A^s的表达式
由定义，$A^s$ 是将 $A$ 的每个元素 $a_{ij}$ 替换为 $a_{n+1-i, n+1-j}$ 得到的矩阵，即 $(A^s)_{ij} = a_{n+1-i, n+1-j}$。因此 $(J A J)_{ij} = (A^s)_{ij}$，故 $J A J = A^s$。
公式：$J A J = A^s$
提示：注意 $A^s$ 的定义与 $J A J$ 的结果一致。
步骤 5/5
目标：证明相似性
由于 $J$ 可逆（$J^{-1} = J$），由 $J A J = A^s$ 可得 $A^s = J A J^{-1}$，即 $A$ 与 $A^s$ 相似。
公式：$A^s = J A J^{-1}$
提示：相似要求存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A P = A^s$，这里 $P = J$ 且 $J^{-1}=J$。
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