哈尔滨工程大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
七、（本题 15 分）用数学归纳法证明：在复数域内，任意一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵都相似于一个上三角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：基础步骤：n=1时结论成立
当 $n=1$ 时，矩阵本身就是一个 $1\times 1$ 的上三角阵，因此结论成立。
提示：注意基础步骤是归纳法的起点，必须验证。
步骤 2/8
目标：归纳假设
假设对于任意 $(n-1)\times (n-1)$ 复矩阵，都相似于一个上三角阵。
提示：归纳假设要明确用于后续步骤。
步骤 3/8
目标：取特征值和特征向量
考虑任意 $n\times n$ 复矩阵 $A$。由于复数域是代数闭域，$A$ 至少有一个特征值 $\lambda_1$，对应的特征向量为 $v_1$（非零）。
公式：$A v_1 = \lambda_1 v_1$
提示：特征向量非零，且复数域代数闭保证特征值存在。
步骤 4/8
目标：扩充基并构造可逆矩阵P
将 $v_1$ 扩充为 $\mathbb{C}^n$ 的一组基 $v_1, v_2, \dots, v_n$。令 $P$ 是以这些基向量为列向量的矩阵，则 $P$ 可逆。
公式：$P = [v_1, v_2, \dots, v_n]$
提示：基的选取不唯一，但必须保证P可逆。
步骤 5/8
目标：计算相似变换后的矩阵形式
计算 $P^{-1}AP$。由于 $P^{-1}Av_1 = P^{-1}(\lambda_1 v_1) = \lambda_1 e_1$，其中 $e_1$ 是第一个标准单位向量，因此 $P^{-1}AP$ 的第一列为 $(\lambda_1, 0, \dots, 0)^T$，从而具有分块形式：
$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & B \end{pmatrix},$$
其中 $B$ 是 $(n-1)\times (n-1)$ 矩阵。
公式：$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & B \end{pmatrix}$
提示：注意分块矩阵中左上角是特征值，左下角是零向量。
步骤 6/8
目标：对子矩阵B应用归纳假设
由归纳假设，存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}BQ$ 是上三角阵。
公式：$Q^{-1}BQ$ 为上三角
提示：Q是(n-1)阶可逆矩阵。
步骤 7/8
目标：构造整体相似变换矩阵R
令 $R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix}$，则 $R$ 可逆，且
$$R^{-1}(P^{-1}AP)R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & *Q \\ 0 & Q^{-1}BQ \end{pmatrix}.$$
由于 $Q^{-1}BQ$ 是上三角阵，且 $*Q$ 是行向量，所以该矩阵是上三角阵。因此 $A$ 相似于上三角阵。
公式：$R^{-1}(P^{-1}AP)R = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & Q^{-1}BQ \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法顺序，确保R的逆正确作用。
步骤 8/8
目标：归纳完成
由数学归纳法，结论对任意正整数 $n$ 成立。即任意 $n\times n$ 复矩阵都相似于一个上三角阵。
提示：归纳步骤中使用了基础步骤和归纳假设，确保逻辑完整。
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