哈尔滨工程大学 2007年高等代数第0题
📝 题目
五、（本题 15 分）复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的一切 $\displaystyle n \times n$ 矩阵的集合 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性空间，对任何选定的矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，定义映射 $\displaystyle \phi_{A}: \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}, ~ X \rightarrow A X-X A$ ．
（1）求证 $\displaystyle \phi_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 上的线性变换；
（2）若矩阵 $A$ 可对角化，求证线性变换 $\displaystyle \phi_{A}$ 也可对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证线性变换的加法保持性
对任意 $X,Y \in \mathbb{C}^{n \times n}$，计算 $\phi_A(X+Y) = A(X+Y) - (X+Y)A = AX + AY - XA - YA = (AX - XA) + (AY - YA) = \phi_A(X) + \phi_A(Y)$。
公式：$\phi_A(X+Y) = \phi_A(X) + \phi_A(Y)$
提示：注意矩阵乘法分配律的正确使用，不要遗漏项。
步骤 2/6
目标：验证线性变换的数乘保持性
对任意 $X \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 和 $k \in \mathbb{C}$，计算 $\phi_A(kX) = A(kX) - (kX)A = k(AX) - k(XA) = k(AX - XA) = k \phi_A(X)$。
公式：$\phi_A(kX) = k \phi_A(X)$
提示：注意数乘与矩阵乘法的交换顺序，$k$ 是标量，可以自由提出。
步骤 3/6
目标：利用相似变换将 $A$ 对角化
由于 $A$ 可对角化，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。定义映射 $\psi: \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n}$，$\psi(X) = P^{-1}XP$。易见 $\psi$ 是可逆线性变换。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$
提示：确保 $P$ 是可逆矩阵，且对角化过程正确。
步骤 4/6
目标：证明 $\phi_A$ 与 $\phi_\Lambda$ 相似
计算 $\psi \circ \phi_A \circ \psi^{-1}(X) = P^{-1} \left( A (P X P^{-1}) - (P X P^{-1}) A \right) P = (P^{-1}AP) X - X (P^{-1}AP) = \Lambda X - X \Lambda = \phi_\Lambda(X)$。因此 $\phi_A$ 与 $\phi_\Lambda$ 相似，从而可对角化性相同。
公式：$\psi \circ \phi_A \circ \psi^{-1} = \phi_\Lambda$
提示：注意复合映射的顺序，$\psi^{-1}(X) = PXP^{-1}$。
步骤 5/6
目标：构造 $\phi_\Lambda$ 的特征向量
设 $E_{ij}$ 为第 $(i,j)$ 位置为1其余为0的矩阵，则 $\{E_{ij}\}$ 是 $\mathbb{C}^{n \times n}$ 的一组基。计算 $\phi_\Lambda(E_{ij}) = \Lambda E_{ij} - E_{ij}\Lambda = \lambda_i E_{ij} - \lambda_j E_{ij} = (\lambda_i - \lambda_j) E_{ij}$。所以 $E_{ij}$ 是 $\phi_\Lambda$ 的特征向量，对应特征值 $\lambda_i - \lambda_j$。
公式：$\phi_\Lambda(E_{ij}) = (\lambda_i - \lambda_j) E_{ij}$
提示：注意 $\Lambda$ 是对角矩阵，左乘 $E_{ij}$ 得到 $\lambda_i E_{ij}$，右乘得到 $\lambda_j E_{ij}$。
步骤 6/6
目标：得出 $\phi_\Lambda$ 可对角化
由于 $\{E_{ij}\}$ 是 $\mathbb{C}^{n \times n}$ 的一组基，且每个 $E_{ij}$ 都是 $\phi_\Lambda$ 的特征向量，因此 $\phi_\Lambda$ 在该基下的矩阵是对角矩阵（对角元为 $\lambda_i - \lambda_j$），故 $\phi_\Lambda$ 可对角化。从而 $\phi_A$ 也可对角化。
提示：基向量都是特征向量意味着线性变换可对角化，注意特征值可能重复。
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