哈尔滨工程大学 2009年高等代数第0题

由于 $A$ 是幂零矩阵，存在正整数 $k$ 使得 $A^k = 0$。幂零矩阵的特征值全为0，因此存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 是严格上三角矩阵（Jordan标准形），即对角线元素全为0。

考虑相似变换：$|A+B| = |P^{-1}(A+B)P| = |P^{-1}AP + P^{-1}BP|$。由于 $P^{-1}AP$ 是严格上三角矩阵，其对角线元素全为0，因此 $P^{-1}AP + P^{-1}BP$ 的对角线元素等于 $P^{-1}BP$ 的对角线元素。

对于上三角矩阵，行列式等于对角线元素的乘积。由于 $P^{-1}AP + P^{-1}BP$ 是上三角矩阵（因为 $P^{-1}AP$ 严格上三角，$P^{-1}BP$ 不一定上三角，但它们的和仍为上三角？实际上，$P^{-1}AP$ 是严格上三角，但 $P^{-1}BP$ 一般不是上三角，所以和不一定上三角。这里需要更严谨：$P$ 是使得 $P^{-1}AP$ 为 Jordan 标准形的矩阵，但 $P^{-1}BP$ 没有特殊形式。因此方法一有瑕疵，应使用方法二。

考虑多项式 $f(t) = |tA + B|$，这是 $t$ 的 $n$ 次多项式。当 $t=0$ 时，$f(0)=|B|$。对于任意非零实数 $t$，$tA$ 也是幂零矩阵，因为 $(tA)^k = t^k A^k = 0$。因此 $tA$ 的特征值全为0，存在可逆矩阵 $Q$（依赖于 $t$）使得 $Q^{-1}(tA)Q$ 是严格上三角矩阵。

对于固定的非零 $t$，存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}(tA)Q$ 是严格上三角。则 $|tA+B| = |Q^{-1}(tA+B)Q| = |Q^{-1}(tA)Q + Q^{-1}BQ|$。由于 $Q^{-1}(tA)Q$ 严格上三角，其对角线元素全为0，因此 $Q^{-1}(tA)Q + Q^{-1}BQ$ 的对角线元素等于 $Q^{-1}BQ$ 的对角线元素。但注意，$Q^{-1}BQ$ 不一定上三角，所以和不一定上三角。实际上，行列式不能直接由对角线元素决定。因此这个论证也有问题。

由于 $A$ 幂零，其特征多项式为 $\lambda^n$。考虑矩阵 $\lambda I - (A+B)$ 的行列式，即 $|\lambda I - (A+B)|$。另一方面，$|\lambda I - B|$ 是 $B$ 的特征多项式。我们想证明 $|\lambda I - (A+B)| = |\lambda I - B|$ 对所有 $\lambda$ 成立。但这是不正确的，例如 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，则 $|\lambda I - (A+B)| = \lambda^2$，而 $|\lambda I - B| = \lambda^2$，相等。但若 $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，则 $|\lambda I - (A+B)| = (\lambda-1)^2$，$|\lambda I - B| = (\lambda-1)^2$，也相等。实际上，由于 $A$ 幂零，$A$ 与任何矩阵可交换？不，一般不可交换。但结论成立。

考虑函数 $g(t) = |tA + B| - |B|$，这是 $t$ 的多项式。对于任意非零实数 $t$，由于 $tA$ 幂零，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}(tA)P$ 是严格上三角。则 $|tA+B| = |P^{-1}(tA+B)P| = |P^{-1}(tA)P + P^{-1}BP|$。注意 $P^{-1}(tA)P$ 是严格上三角，但 $P^{-1}BP$ 不一定上三角。然而，行列式可以按第一列展开，利用 $P^{-1}(tA)P$ 的严格上三角性质，可以证明 $|P^{-1}(tA)P + P^{-1}BP|$ 与 $|P^{-1}BP|$ 相等？实际上，严格上三角矩阵加上任意矩阵，其行列式等于原矩阵的行列式？不成立。例如 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$，则 $|A+B| = -1$，$|B|=0$，不相等。所以原题结论错误？检查：$A$ 幂零，$B$ 任意，$|A+B|=|B|$ 不成立。反例：$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$，则 $A+B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，行列式为 -1，而 $|B|=0$。所以题目条件可能缺失，比如 $A$ 与 $B$ 可交换？实际上，常见结论是：若 $A$ 幂零且 $AB=BA$，则 $|A+B|=|B|$。但题目未给出可交换条件。因此原题可能默认 $A$ 与 $B$ 可交换？或者 $B$ 可逆？但反例中 $B$ 不可逆。所以题目可能有误。