📝 哈尔滨工程大学 2009年高等代数真题

2．求一个可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=B$ ．

1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $A^{n}=0$ ；

2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $k, A+k E_{n}$ 都可逆．

1．$S, T$ 都是 $M_{n}$ 的线性子空间；

2．$M_{n}=S \oplus T$ ．

七、设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶方阵，$A$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶幕零阵，求证：$\displaystyle |A+B|=|B|$ 。

三、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}, N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}$ ，若 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 有相同的秩．

求证：
（1）齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 和 $\displaystyle A^{2} x=0$ 同解；
（2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=R(A) \oplus N(A)$ ．

二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 5 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为其上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}, \varepsilon_{5}$ 之下矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{lllll}
& & & & 1 \\
& & & 1 & \\
& & 1 & & \\
& 1 & & & \\
1 & & & &
\end{array}\right)
$$

（1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ ，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵为对角阵；
（2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．

五、（1）求证任何一个正定矩阵 $\displaystyle A=B^{2}, B$ 也为正定矩阵．
（2）求证任何一个可逆实矩阵 $\displaystyle A=Q P, Q$ 为正定矩阵，$P$ 为正交阵．

八、设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 可逆，求证矩阵方程 $\displaystyle A X A^{T}-X=0$ 仅有零解的充要条件为 $A$ 的任何两个特征值的乘积不为 1 。

六、 $\displaystyle \mathbb{F}$ 为数域，$\displaystyle A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}, A+B=E_{n}, A B=B A, A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证存在一个可逆矩阵 $P$ 使得

$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ll}
E_{\mathrm{s}} & \\
& 0
\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}
0 & \\
& E_{t}
\end{array}\right)
$$

这里 $\displaystyle s+t=n$ ．

四、设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间 $\displaystyle (n \geq 3), \mathcal{A}$ 为其上的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A}^{n-2} \neq 0, \mathcal{A}^{n-1} \neq 0$ ．求证： $\displaystyle \mathcal{A}$ 在 $V$ 的某个基下的矩阵为

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & & & & \\
1 & \ddots & & & \\
& \ddots & \ddots & & \\
& & 1 & 0 & \\
& & & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

5．若 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为3维线性空间中两个不同的2维子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

6．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^{n-1} \neq 0, A^{n}=0$ ，则 $\displaystyle V=\{f(A) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x]\}$ 作为实数域上的线性空间其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．$\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，则线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 对任意向量 $\displaystyle b \in \mathbb{R}^{m}$ 都有解的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

8．若 $A$ 为 3 阶实对称阵，其特征值为 $\displaystyle -3,1,4$ ，则当 $t$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，$\displaystyle t E+A$ 正定．

9．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3,4$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$