哈尔滨工程大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
五、（1）求证任何一个正定矩阵 $\displaystyle A=B^{2}, B$ 也为正定矩阵．
（2）求证任何一个可逆实矩阵 $\displaystyle A=Q P, Q$ 为正定矩阵，$P$ 为正交阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用正交对角化表示正定矩阵
设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，则 $A$ 是实对称矩阵，且特征值全为正。由实对称矩阵的正交对角化定理，存在正交矩阵 $U$（即 $U^T U = I$）使得 $A = U^T \Lambda U$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，$\lambda_i > 0$。
公式：A = U^T \Lambda U
提示：注意正交矩阵满足 $U^T = U^{-1}$，且特征值全为正。
步骤 2/7
目标：构造正定平方根矩阵
定义 $\sqrt{\Lambda} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $\sqrt{\Lambda}$ 是对角元全为正的对角矩阵。令 $B = U^T \sqrt{\Lambda} U$。由于 $U$ 正交，$B$ 是实对称矩阵，且特征值为 $\sqrt{\lambda_i} > 0$，故 $B$ 正定。
公式：B = U^T \sqrt{\Lambda} U
提示：验证对称性：$B^T = (U^T \sqrt{\Lambda} U)^T = U^T \sqrt{\Lambda} U = B$。
步骤 3/7
目标：验证平方关系
计算 $B^2 = (U^T \sqrt{\Lambda} U)(U^T \sqrt{\Lambda} U) = U^T \sqrt{\Lambda} (U U^T) \sqrt{\Lambda} U = U^T \sqrt{\Lambda} I \sqrt{\Lambda} U = U^T \Lambda U = A$。因此 $A = B^2$，且 $B$ 正定。
公式：B^2 = A
提示：注意 $U U^T = I$，因为 $U$ 是正交矩阵。
步骤 4/7
目标：构造正定矩阵Q
设 $A$ 为可逆实矩阵。考虑 $A^T A$，它是实对称矩阵且正定（因为对任意非零向量 $x$，$x^T (A^T A) x = \|Ax\|^2 > 0$）。由（1）知存在正定矩阵 $Q$ 使得 $A^T A = Q^2$。
公式：A^T A = Q^2
提示：$A^T A$ 的正定性依赖于 $A$ 可逆，确保 $Ax \neq 0$。
步骤 5/7
目标：定义正交矩阵P
令 $P = Q^{-1} A$。由于 $Q$ 正定，$Q^{-1}$ 存在且正定。计算 $P^T P = (Q^{-1} A)^T (Q^{-1} A) = A^T (Q^{-1})^T Q^{-1} A = A^T Q^{-1} Q^{-1} A = A^T (Q^2)^{-1} A = A^T (A^T A)^{-1} A$。
公式：P = Q^{-1} A
提示：注意 $Q$ 对称，故 $(Q^{-1})^T = Q^{-1}$。
步骤 6/7
目标：验证P为正交矩阵
由于 $A^T A = Q^2$，有 $(A^T A)^{-1} = Q^{-2}$，所以 $P^T P = A^T Q^{-2} A = A^T (A^T A)^{-1} A = I$（因为 $A^T (A^T A)^{-1} A = I$ 是恒等式，可验证：$A^T (A^T A)^{-1} A = A^T A^{-1} (A^T)^{-1} A = I$）。因此 $P$ 是正交矩阵。
公式：P^T P = I
提示：也可直接计算 $P^T P = (Q^{-1} A)^T (Q^{-1} A) = A^T Q^{-2} A = A^T (A^T A)^{-1} A = I$。
步骤 7/7
目标：得到分解
由 $P = Q^{-1} A$ 得 $A = Q P$，其中 $Q$ 正定，$P$ 正交。证毕。
公式：A = Q P
提示：注意分解顺序：$Q$ 正定，$P$ 正交。
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