哈尔滨工程大学 2009年高等代数第9题
📝 题目
9．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3,4$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解特征值与迹的关系
矩阵的迹等于所有特征值之和。对于矩阵 $A$，有 $\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。
公式：\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i
提示：注意迹是特征值的和，而不是乘积。
步骤 2/5
目标：确定 $A^2$ 的特征值
如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^2$ 是 $A^2$ 的特征值。因为 $A$ 的特征值为 $1,2,3,4$，所以 $A^2$ 的特征值为 $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$。
公式：A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \Rightarrow A^2\mathbf{v} = \lambda^2 \mathbf{v}
提示：确保特征向量相同，且 $A^2$ 的特征值确实是平方关系。
步骤 3/5
目标：应用迹的定义到 $A^2$
矩阵 $A^2$ 的迹等于其特征值之和，即 $\operatorname{tr}(A^2) = 1 + 4 + 9 + 16$。
公式：\operatorname{tr}(A^2) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i^2
提示：注意 $A^2$ 的特征值顺序不影响和。
步骤 4/5
目标：计算和
计算 $1 + 4 + 9 + 16 = 30$。
提示：加法计算要准确。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$\operatorname{tr}(A^2) = 30$。
提示：最终答案应为数值。
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