哈尔滨工程大学 2009年高等代数第5题
📝 题目
5．若 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为3维线性空间中两个不同的2维子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
设 $V$ 是3维线性空间，$V_1, V_2$ 是 $V$ 中两个不同的2维子空间。因此 $\dim V_1 = \dim V_2 = 2$，且 $V_1 \neq V_2$。
提示：注意子空间不同意味着它们不相等，但可能有非零交。
步骤 2/6
目标：确定交的维数范围
由于 $V_1$ 和 $V_2$ 都是2维且不同，它们的交 $V_1 \cap V_2$ 是 $V_1$ 的真子空间，故 $\dim(V_1 \cap V_2) < 2$。又因为交是子空间，维数非负整数，所以 $\dim(V_1 \cap V_2) \in \{0,1\}$。
提示：不同子空间意味着交的维数严格小于每个子空间的维数。
步骤 3/6
目标：应用维数公式
由维数公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) = 2+2-\dim(V_1 \cap V_2) = 4 - \dim(V_1 \cap V_2)$。
公式：\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)
提示：维数公式适用于任意两个子空间。
步骤 4/6
目标：利用空间维数限制
因为 $V_1+V_2$ 是 $V$ 的子空间，所以 $\dim(V_1+V_2) \leq \dim V = 3$。代入维数公式得 $4 - \dim(V_1 \cap V_2) \leq 3$，即 $\dim(V_1 \cap V_2) \geq 1$。
提示：和空间的维数不超过整个空间的维数。
步骤 5/6
目标：确定交的维数
结合 $\dim(V_1 \cap V_2) \geq 1$ 和 $\dim(V_1 \cap V_2) \in \{0,1\}$，得 $\dim(V_1 \cap V_2) = 1$。
提示：注意排除0的情况，因为维数必须同时满足两个不等式。
步骤 6/6
目标：计算和空间的维数
代入维数公式：$\dim(V_1+V_2) = 4 - 1 = 3$。
提示：最终结果应为整数。
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