哈尔滨工程大学 2009年高等代数第8题
📝 题目
8．若 $A$ 为 3 阶实对称阵，其特征值为 $\displaystyle -3,1,4$ ，则当 $t$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，$\displaystyle t E+A$ 正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解正定矩阵的条件
对于实对称矩阵 $B$，$B$ 正定当且仅当它的所有特征值都大于 $0$。这里 $B = tE + A$，其中 $A$ 是实对称矩阵，$E$ 是单位矩阵。
公式：实对称矩阵正定 $\iff$ 所有特征值 $>0$
提示：注意正定矩阵要求特征值严格大于0，不能等于0。
步骤 2/6
目标：利用正交对角化简化问题
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(-3,1,4)$。那么 $tE + A = Q(tE + \Lambda)Q^T$，因为 $Q^T(tE)Q = tE$。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$，$Q^T(tE)Q = tE$
提示：正交对角化时，$Q$ 是正交矩阵，满足 $Q^T = Q^{-1}$。
步骤 3/6
目标：计算 $tE+A$ 的特征值
由于 $tE + A = Q(tE + \Lambda)Q^T$，而 $tE + \Lambda = \operatorname{diag}(t-3, t+1, t+4)$。因为相似矩阵有相同的特征值，所以 $tE+A$ 的特征值为 $t-3$, $t+1$, $t+4$。
公式：$tE+A$ 的特征值：$t-3$, $t+1$, $t+4$
提示：注意 $tE+\Lambda$ 是对角矩阵，特征值即对角线元素。
步骤 4/6
目标：建立正定条件的不等式组
$tE+A$ 正定当且仅当所有特征值大于 $0$，即：
$$
\begin{cases}
t-3 > 0 \\
t+1 > 0 \\
t+4 > 0
\end{cases}
$$
公式：正定条件：$t-3>0$, $t+1>0$, $t+4>0$
提示：不要遗漏任何一个不等式。
步骤 5/6
目标：解不等式组
解不等式组：
- 由 $t-3>0$ 得 $t>3$；
- 由 $t+1>0$ 得 $t>-1$；
- 由 $t+4>0$ 得 $t>-4$。
取交集，得到 $t>3$。
提示：注意取所有不等式的公共部分，即最严格的条件。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，当 $t>3$ 时，$tE+A$ 的所有特征值大于 $0$，从而 $tE+A$ 正定。
提示：答案应写成 $t>3$，注意是严格大于。
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