哈尔滨工程大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
2．$M_{n}=S \oplus T$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵满足 $A^T = A$，反对称矩阵满足 $A^T = -A$。设 $S$ 为所有 $n \times n$ 对称矩阵的集合，$T$ 为所有 $n \times n$ 反对称矩阵的集合。
公式：$A^T = A$（对称），$A^T = -A$（反对称）
提示：注意反对称矩阵的对角线元素必须为零。
步骤 2/6
目标：证明任意矩阵可分解为对称与反对称矩阵之和
对任意 $A \in M_n$，构造 $S = \frac{1}{2}(A + A^T)$，$T = \frac{1}{2}(A - A^T)$。验证 $S$ 对称：$S^T = \frac{1}{2}(A^T + A) = S$；$T$ 反对称：$T^T = \frac{1}{2}(A^T - A) = -T$。且 $A = S + T$。
公式：$S = \frac{1}{2}(A + A^T)$，$T = \frac{1}{2}(A - A^T)$
提示：注意系数 $\frac{1}{2}$ 确保分解成立。
步骤 3/6
目标：证明分解的唯一性
假设 $A = S_1 + T_1 = S_2 + T_2$，其中 $S_1, S_2$ 对称，$T_1, T_2$ 反对称。则 $S_1 - S_2 = T_2 - T_1$。左边对称，右边反对称，故两边均为零矩阵，从而 $S_1 = S_2$，$T_1 = T_2$。
提示：利用对称矩阵与反对称矩阵的交集只有零矩阵。
步骤 4/6
目标：证明 $S$ 和 $T$ 是子空间
验证 $S$ 和 $T$ 对加法和数乘封闭：若 $A, B \in S$，则 $(A+B)^T = A^T+B^T = A+B$，故 $A+B \in S$；对任意标量 $k$，$(kA)^T = kA^T = kA$，故 $kA \in S$。类似可证 $T$ 是子空间。
提示：子空间需包含零矩阵，显然成立。
步骤 5/6
目标：证明 $S \cap T = \{0\}$
若 $A \in S \cap T$，则 $A^T = A$ 且 $A^T = -A$，故 $A = -A$，即 $2A=0$，所以 $A=0$。
提示：注意矩阵加法的零元是零矩阵。
步骤 6/6
目标：总结直和分解
由以上步骤，$M_n = S + T$ 且 $S \cap T = \{0\}$，故 $M_n = S \oplus T$。即任意 $n \times n$ 矩阵可唯一分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
公式：$M_n = S \oplus T$
提示：直和意味着分解唯一且子空间交为零。
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