哈尔滨工程大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
三、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}, N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}$ ，若 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 有相同的秩．
求证：
（1）齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 和 $\displaystyle A^{2} x=0$ 同解；
（2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=R(A) \oplus N(A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由秩相等得到零空间维数相等
由题意，$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^2)$。由秩-零化度定理，$\dim R(A)+\dim N(A)=n$，$\dim R(A^2)+\dim N(A^2)=n$。因此$\dim N(A)=\dim N(A^2)$。
公式：秩-零化度定理：$\dim R(A)+\dim N(A)=n$
提示：注意$A$和$A^2$的秩相等是已知条件，不要忘记使用秩-零化度定理推导零空间维数相等。
步骤 2/6
目标：证明$N(A)\subseteq N(A^2)$
若$x\in N(A)$，则$Ax=0$，于是$A^2x=A(Ax)=A0=0$，所以$x\in N(A^2)$。因此$N(A)\subseteq N(A^2)$。
提示：这是显然的包含关系，注意$A^2x=0$的定义。
步骤 3/6
目标：证明$N(A^2)\subseteq N(A)$（关键步骤）
设$x\in N(A^2)$，即$A^2x=0$。则$A(Ax)=0$，所以$Ax\in N(A)$。又$Ax\in R(A)$，故$Ax\in R(A)\cap N(A)$。由$\dim N(A)=\dim N(A^2)$和$N(A)\subseteq N(A^2)$得$N(A)=N(A^2)$。因此$R(A)\cap N(A)=\{0\}$（否则若存在非零$y\in R(A)\cap N(A)$，则$y=Az$且$Ay=0$，从而$A^2z=0$，但$z\notin N(A)$，与$N(A)=N(A^2)$矛盾）。于是$Ax=0$，即$x\in N(A)$。所以$N(A^2)\subseteq N(A)$。
提示：这里需要利用$N(A)=N(A^2)$推出$R(A)\cap N(A)=\{0\}$，注意反证法的使用。
步骤 4/6
目标：得出方程组同解
由$N(A)\subseteq N(A^2)$和$N(A^2)\subseteq N(A)$得$N(A)=N(A^2)$，即齐次线性方程组$Ax=0$和$A^2x=0$同解。
提示：同解即解集相等，这里已经证明。
步骤 5/6
目标：证明$R(A)\cap N(A)=\{0\}$
设$y\in R(A)\cap N(A)$，则存在$x$使得$y=Ax$，且$Ay=0$。于是$A^2x=A(Ax)=Ay=0$，所以$x\in N(A^2)=N(A)$，从而$Ax=0$，即$y=0$。因此$R(A)\cap N(A)=\{0\}$。
提示：注意这里直接使用了（1）的结论$N(A)=N(A^2)$。
步骤 6/6
目标：证明直和分解
由秩-零化度定理，$\dim R(A)+\dim N(A)=n$，且$R(A)\cap N(A)=\{0\}$，因此$\mathbb{R}^n=R(A)\oplus N(A)$。
公式：直和条件：$\dim(U+V)=\dim U+\dim V$且$U\cap V=\{0\}$
提示：注意直和需要子空间的和为整个空间且交为零。
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