哈尔滨工程大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
六、 $\displaystyle \mathbb{F}$ 为数域，$\displaystyle A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}, A+B=E_{n}, A B=B A, A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证存在一个可逆矩阵 $P$ 使得
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ll}
E_{\mathrm{s}} & \\
& 0
\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}
0 & \\
& E_{t}
\end{array}\right)
$$
这里 $\displaystyle s+t=n$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：推导A和B的性质
由条件 $A+B=E_n$，得 $B=E_n-A$。代入 $AB=BA$ 自动成立。计算 $AB=A(E_n-A)=A-A^2=0$，同理 $BA=0$。因此 $A$ 和 $B$ 是正交的幂等矩阵。
公式：$AB=0$, $BA=0$
提示：注意利用 $A^2=A$ 和 $B^2=B$ 简化乘积。
步骤 2/6
目标：定义子空间并证明直和分解
设 $V_1=\operatorname{Im}A$, $V_2=\operatorname{Im}B$。对任意 $x\in\mathbb{F}^n$，有 $x=E_n x=(A+B)x=Ax+Bx$，其中 $Ax\in V_1$, $Bx\in V_2$，故 $\mathbb{F}^n=V_1+V_2$。若 $y\in V_1\cap V_2$，则存在 $u,v$ 使 $y=Au=Bv$，于是 $y=Ay=ABv=0$，所以 $V_1\cap V_2=\{0\}$。因此 $\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2$。
公式：$\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2$
提示：注意直和需要验证和与交均为零。
步骤 3/6
目标：构造基和可逆矩阵P
取 $V_1$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$，$V_2$ 的一组基 $\beta_1,\dots,\beta_t$，则 $\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta_1,\dots,\beta_t$ 构成 $\mathbb{F}^n$ 的一组基。令 $P$ 为以这些基向量为列向量的矩阵，则 $P$ 可逆。
提示：注意基的次序：先 $V_1$ 后 $V_2$。
步骤 4/6
目标：计算A在基下的矩阵
由于 $A$ 在 $V_1$ 上作用为恒等（因为对 $\alpha_i\in V_1$，存在 $u$ 使 $\alpha_i=Au$，则 $A\alpha_i=A^2u=Au=\alpha_i$），在 $V_2$ 上作用为零（因为对 $\beta_j\in V_2$，$A\beta_j=0$），故 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix} E_s & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} E_s & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意 $A$ 在 $V_1$ 上是恒等映射，因为 $A$ 是投影到 $V_1$ 的投影算子。
步骤 5/6
目标：计算B在基下的矩阵
由 $B=E_n-A$，在 $V_1$ 上 $B\alpha_i=\alpha_i-A\alpha_i=0$，在 $V_2$ 上 $B\beta_j=\beta_j-0=\beta_j$，故 $P^{-1}BP=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E_t \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1}BP=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E_t \end{pmatrix}$
提示：也可直接利用 $B$ 是投影到 $V_2$ 的投影算子。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix} E_s & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $P^{-1}BP=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E_t \end{pmatrix}$，其中 $s=\dim V_1$, $t=\dim V_2$, $s+t=n$。
提示：注意 $s$ 和 $t$ 由 $A$ 和 $B$ 的秩决定。
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