哈尔滨工程大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 可逆，求证矩阵方程 $\displaystyle A X A^{T}-X=0$ 仅有零解的充要条件为 $A$ 的任何两个特征值的乘积不为 1 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将矩阵方程转化为线性变换的特征值问题
考虑线性变换 $\mathcal{L}: \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n}$，定义为 $\mathcal{L}(X) = A X A^T - X$。方程 $A X A^T - X = 0$ 即 $\mathcal{L}(X) = 0$。该方程仅有零解当且仅当 $\mathcal{L}$ 是可逆线性变换，即 $1$ 不是 $\mathcal{L}$ 的特征值。
公式：$\mathcal{L}(X) = A X A^T - X$
提示：注意线性变换的可逆性与特征值的关系：$\mathcal{L}$ 可逆当且仅当 $0$ 不是其特征值，但这里方程是 $\mathcal{L}(X)=0$，所以零解唯一当且仅当 $\mathcal{L}$ 是单射，即 $0$ 不是特征值？实际上，$\mathcal{L}(X)=0$ 有非零解当且仅当 $0$ 是 $\mathcal{L}$ 的特征值。但题目中方程是 $AXA^T - X = 0$，即 $\mathcal{L}(X)=0$，所以零解唯一当且仅当 $0$ 不是 $\mathcal{L}$ 的特征值。然而，我们通常考虑 $\mathcal{T}(X)=AXA^T$，则方程变为 $\mathcal{T}(X)=X$，即 $1$ 是 $\mathcal{T}$ 的特征值。因此，零解唯一当且仅当 $1$ 不是 $\mathcal{T}$ 的特征值。
步骤 2/6
目标：引入线性变换 T 并建立等价条件
定义线性变换 $\mathcal{T}: \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n}$，$\mathcal{T}(X) = A X A^T$。由于 $A$ 可逆，$\mathcal{T}$ 是可逆线性变换。方程 $A X A^T = X$ 等价于 $\mathcal{T}(X) = X$，即 $X$ 是 $\mathcal{T}$ 的属于特征值 $1$ 的特征向量。因此，方程仅有零解当且仅当 $1$ 不是 $\mathcal{T}$ 的特征值。
公式：$\mathcal{T}(X) = A X A^T$
提示：注意 $\mathcal{T}$ 是线性变换，且 $\mathcal{T}$ 的特征值问题与 $A$ 的特征值密切相关。
步骤 3/6
目标：分析 T 的特征值与 A 的特征值的关系
设 $\lambda, \mu$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量分别为 $u, v$，即 $A u = \lambda u$，$A v = \mu v$。考虑矩阵 $X = u v^T$，则 $\mathcal{T}(X) = A (u v^T) A^T = (A u) (v^T A^T) = (\lambda u) ( (A v)^T ) = \lambda u (\mu v)^T = \lambda \mu (u v^T) = \lambda \mu X$。因此，$\lambda \mu$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $u v^T$。
公式：$\mathcal{T}(u v^T) = \lambda \mu (u v^T)$
提示：注意 $v^T A^T = (A v)^T$，因为转置的性质。
步骤 4/6
目标：说明 T 的所有特征值由 A 的特征值两两乘积给出
由于 $\mathbb{C}^{n \times n}$ 中所有形如 $u v^T$ 的矩阵（其中 $u, v$ 为 $A$ 的特征向量）张成整个空间（因为 $A$ 可对角化？实际上，$A$ 不一定可对角化，但特征向量可以生成空间？更严格地说，$\mathcal{T}$ 的特征值集合是 $A$ 的特征值两两乘积的集合，包括重复。这是因为 $\mathcal{T}$ 可以视为 $A \otimes A$ 作用在向量化矩阵上，而 $A \otimes A$ 的特征值是 $\lambda_i \lambda_j$，其中 $\lambda_i, \lambda_j$ 是 $A$ 的特征值。因此，$\mathcal{T}$ 的特征值恰好是 $A$ 的所有特征值两两乘积。
公式：$\sigma(\mathcal{T}) = \{\lambda_i \lambda_j \mid \lambda_i, \lambda_j \in \sigma(A)\}$
提示：这里用到了Kronecker积的性质：$\mathcal{T}(X) = A X A^T$ 对应 $\operatorname{vec}(\mathcal{T}(X)) = (A \otimes A) \operatorname{vec}(X)$。因此 $\mathcal{T}$ 的特征值就是 $A \otimes A$ 的特征值，即 $\lambda_i \lambda_j$。
步骤 5/6
目标：推导充要条件
由上述分析，$1$ 是 $\mathcal{T}$ 的特征值当且仅当存在 $A$ 的特征值 $\lambda, \mu$ 使得 $\lambda \mu = 1$。因此，方程 $A X A^T = X$ 仅有零解（即 $1$ 不是 $\mathcal{T}$ 的特征值）当且仅当 $A$ 的任何两个特征值的乘积都不等于 $1$。
公式：$\lambda \mu = 1$ 无解（$\lambda, \mu \in \sigma(A)$）
提示：注意条件要求任何两个特征值的乘积不为1，包括相同特征值的情况（即 $\lambda^2 \neq 1$）。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，矩阵方程 $A X A^T - X = 0$ 仅有零解的充要条件是 $A$ 的任何两个特征值的乘积不为 $1$。
提示：该结论在可逆矩阵 $A$ 下成立。
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