哈尔滨工程大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 5 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为其上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}, \varepsilon_{5}$ 之下矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{lllll}
& & & & 1 \\
& & & 1 & \\
& & 1 & & \\
& 1 & & & \\
1 & & & &
\end{array}\right)
$$
（1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ ，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵为对角阵；
（2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵A并分析其结构
给定矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{pmatrix}$，这是反单位矩阵（反对角线全为1）。
提示：注意矩阵的排列方式，反对角线元素为1。
步骤 2/6
目标：求特征多项式
计算特征多项式 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix}\lambda&0&0&0&-1\\0&\lambda&0&-1&0\\0&0&\lambda-1&0&0\\0&-1&0&\lambda&0\\-1&0&0&0&\lambda\end{vmatrix}$。通过行列式展开或观察，得到 $|\lambda I - A| = \lambda^5 - 1$。
公式：$|\lambda I - A| = \lambda^5 - 1$
提示：注意行列式计算时，反对角线元素符号。
步骤 3/6
目标：求特征值
解方程 $\lambda^5 - 1 = 0$，得特征值 $\lambda_k = e^{2\pi i k/5}$，其中 $k=0,1,2,3,4$。即 $\lambda_0=1$，$\lambda_1=e^{2\pi i/5}$，$\lambda_2=e^{4\pi i/5}$，$\lambda_3=e^{6\pi i/5}$，$\lambda_4=e^{8\pi i/5}$。由于特征值互异，$A$ 可对角化。
公式：$\lambda_k = e^{2\pi i k/5}$
提示：注意特征值是复数，但线性空间是实数域，对角化需要在复数域上考虑。
步骤 4/6
目标：求特征向量
解方程 $A\alpha = \lambda \alpha$，设 $\alpha = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T$，得方程组：$x_5 = \lambda x_1$，$x_4 = \lambda x_2$，$x_3 = \lambda x_3$，$x_2 = \lambda x_4$，$x_1 = \lambda x_5$。由第三式得 $(1-\lambda)x_3=0$，因 $\lambda \neq 1$ 时 $x_3=0$；$\lambda=1$ 时 $x_3$ 任意。解得特征向量为 $\alpha = (1, \lambda, \lambda^2, \lambda^3, \lambda^4)^T$（适当归一化）。
公式：$\alpha_k = (1, \lambda_k, \lambda_k^2, \lambda_k^3, \lambda_k^4)^T$
提示：注意 $\lambda=1$ 时 $x_3$ 自由，但上述表达式仍成立。
步骤 5/6
目标：构造新基
取新基 $\alpha_k = \sum_{j=1}^5 \lambda_k^{j-1} \varepsilon_j$，即 $\alpha_k = (1, \lambda_k, \lambda_k^2, \lambda_k^3, \lambda_k^4)^T$ 在基 $\{\varepsilon_j\}$ 下的坐标。则 $\mathcal{A}\alpha_k = \lambda_k \alpha_k$，故 $\mathcal{A}$ 在新基下的矩阵为对角阵 $\operatorname{diag}(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4)$。
公式：$\mathcal{A}\alpha_k = \lambda_k \alpha_k$
提示：新基是复数域上的基，但题目要求实数域，实际上需要将复特征向量组合成实基，但题目未明确，通常接受复数基。
步骤 6/6
目标：求A的幂
观察 $A$ 的幂：$A^2$ 将反对角线向左上移一位，即 $A^2 = \begin{pmatrix}0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$？实际上 $A^2$ 是每行每列只有一个1的矩阵，且 $A^5 = I$。一般地，设 $n = 5q + r$，$0 \le r < 5$，则 $A^n = A^r$，其中 $A^0 = I$。具体地，$A^r$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\delta_{i+j, r+1}$（当 $r=0$ 时理解为 $i=j$）。更精确：$A$ 是置换矩阵，对应置换 $\sigma(i) = 6-i$，则 $A^n$ 对应 $\sigma^n$。
公式：$A^n = A^{n \mod 5}$
提示：注意 $A^5 = I$，因此周期为5。
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