哈尔滨工程大学 2009年高等代数第0题
📝 题目
2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $k, A+k E_{n}$ 都可逆．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确幂零矩阵的定义
由题意，$A$ 是 $n$ 阶复幂零矩阵，即存在正整数 $m$ 使得 $A^m = 0$。
公式：$A^m = 0$
提示：注意幂零指数 $m$ 不一定等于 $n$，但 $m \leq n$。
步骤 2/7
目标：假设矩阵不可逆，引出特征向量
对任意非零常数 $k$，假设 $A + kE_n$ 不可逆，则存在非零向量 $x$ 使得 $(A + kE_n)x = 0$，即 $Ax = -kx$。
公式：$(A + kE_n)x = 0 \Rightarrow Ax = -kx$
提示：不可逆等价于存在非零解，即 $0$ 是特征值。
步骤 3/7
目标：推导出 $x$ 是 $A$ 的特征向量
由 $Ax = -kx$ 可知，$x$ 是 $A$ 的属于特征值 $-k$ 的特征向量。
公式：$Ax = \lambda x$，其中 $\lambda = -k$
提示：特征向量要求非零，这里 $x$ 非零，满足条件。
步骤 4/7
目标：利用幂零矩阵的特征值性质
幂零矩阵的特征值全为 $0$。因为若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则存在非零向量 $y$ 使得 $Ay = \lambda y$，于是 $A^m y = \lambda^m y = 0$，故 $\lambda^m = 0$，从而 $\lambda = 0$。
公式：$A^m y = \lambda^m y = 0 \Rightarrow \lambda^m = 0 \Rightarrow \lambda = 0$
提示：注意 $A^m = 0$ 是零矩阵，但特征值推导需用特征向量。
步骤 5/7
目标：导出矛盾
由第3步，$-k$ 是 $A$ 的特征值，但 $k \neq 0$，故 $-k \neq 0$，与幂零矩阵特征值全为 $0$ 矛盾。
公式：无
提示：矛盾点：特征值非零与全零矛盾。
步骤 6/7
目标：得出结论
因此假设不成立，$A + kE_n$ 可逆。
公式：无
提示：结论对任意非零常数 $k$ 成立。
步骤 7/7
目标：另一种方法：利用特征值直接判断
由于 $A$ 的特征值全为 $0$，则 $A + kE_n$ 的特征值为 $k$（非零），故 $A + kE_n$ 可逆。
公式：$\det(A + kE_n) = \prod_{i=1}^n (\lambda_i + k) = k^n \neq 0$
提示：注意特征值的加法性质：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda + k$ 是 $A + kE_n$ 的特征值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。