哈尔滨工程大学 2009年高等代数第6题
📝 题目
6．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^{n-1} \neq 0, A^{n}=0$ ，则 $\displaystyle V=\{f(A) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x]\}$ 作为实数域上的线性空间其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵A的性质
已知 $A^{n-1} \neq 0$ 且 $A^n = 0$，说明 $A$ 是幂零矩阵，且幂零指数为 $n$。因此 $A$ 的极小多项式为 $x^n$，且 $A$ 的若尔当标准形中只有一个若尔当块，大小为 $n$，即 $A$ 相似于 $J_n(0)$。
公式：A^n = 0, A^{n-1} \neq 0
提示：注意幂零指数与极小多项式的关系：若 $A^k=0$ 且 $A^{k-1}\neq0$，则极小多项式为 $x^k$。
步骤 2/5
目标：将V转化为若尔当块形式
由于相似变换保持线性空间结构，$V = \{ f(A) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x] \}$ 同构于 $\{ f(J_n(0)) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x] \}$。因此只需考虑 $J_n(0)$ 的情形。
公式：V \cong \{ f(J_n(0)) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x] \}
提示：相似变换下，多项式矩阵的集合保持线性同构。
步骤 3/5
目标：计算f(J_n(0))的表达式
对于若尔当块 $J_n(0)$，有 $J_n(0)^k$ 是第 $k$ 条次对角线为1的矩阵，且 $J_n(0)^n = 0$。利用泰勒展开，$f(J_n(0)) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} J_n(0)^k$。
公式：f(J_n(0)) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} J_n(0)^k
提示：注意展开到 $n-1$ 次，因为 $J_n(0)^n=0$。
步骤 4/5
目标：确定基向量
矩阵 $I = J_n(0)^0, J_n(0), J_n(0)^2, \dots, J_n(0)^{n-1}$ 是线性无关的，因为它们的非零元素位于不同的次对角线上。因此它们构成 $V$ 的一组基。
公式：\{ J_n(0)^k \mid k=0,1,\dots,n-1 \}
提示：线性无关性可通过观察矩阵的支撑集证明。
步骤 5/5
目标：计算维数
基向量的个数为 $n$，所以 $V$ 的维数为 $n$。
公式：\dim V = n
提示：注意 $f(A)$ 中 $f$ 是任意实系数多项式，但 $A$ 的极小多项式为 $x^n$，因此 $f(A)$ 由 $f(0), f'(0), \dots, f^{(n-1)}(0)$ 唯一确定，这些系数可以独立变化，故维数为 $n$。
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