哈尔滨工程大学 2011年高等代数第1题
📝 题目
1．包含 $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ 的最小数域视为有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定元素及其最小多项式
设 $\alpha = \sqrt[3]{2}$，则 $\alpha$ 满足方程 $\alpha^3 = 2$，即 $\alpha^3 - 2 = 0$。因此 $\alpha$ 是多项式 $f(x) = x^3 - 2$ 的根。
公式：$\alpha^3 - 2 = 0$
提示：注意 $\sqrt[3]{2}$ 是实数根，但多项式还有两个复根，不过我们只考虑有理数域上的最小多项式。
步骤 2/6
目标：判断多项式在有理数域上的不可约性
考虑多项式 $f(x) = x^3 - 2$。应用Eisenstein判别法，取素数 $p=2$，则 $2$ 整除所有系数（除首项系数1外），且 $2^2=4$ 不整除常数项 $-2$。因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
公式：Eisenstein判别法：若存在素数 $p$ 使得 $p \mid a_i$（$i=0,\dots,n-1$），$p \nmid a_n$，$p^2 \nmid a_0$，则多项式不可约。
提示：注意常数项是 $-2$，其绝对值2，$p^2=4$ 不整除2，满足条件。
步骤 3/6
目标：确定扩域的次数
由于 $f(x)$ 是 $\alpha$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的最小多项式（不可约且以 $\alpha$ 为根），且次数为3，所以扩域 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 是 $\mathbb{Q}$ 的3次扩域，即 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3$。
公式：$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = \deg(m_\alpha(x)) = 3$
提示：扩域的次数等于最小多项式的次数。
步骤 4/6
目标：将扩域视为有理数域上的线性空间
扩域 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上的向量空间，其维数等于扩域的次数，即 $\dim_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(\alpha) = [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3$。
公式：$\dim_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(\alpha) = [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$
提示：注意：域扩张的次数就是作为向量空间的维数。
步骤 5/6
目标：找出一组基
由于 $\alpha$ 的最小多项式次数为3，则 $\{1, \alpha, \alpha^2\}$ 是 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 作为 $\mathbb{Q}$-向量空间的一组基。任何元素可唯一表示为 $a + b\alpha + c\alpha^2$，其中 $a,b,c \in \mathbb{Q}$。
公式：基：$\{1, \alpha, \alpha^2\}$
提示：注意 $\alpha^3$ 可以用 $2$ 表示，所以更高次幂可降次。
步骤 6/6
目标：得出维数
因此，包含 $\sqrt[3]{2}$ 的最小数域 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上的线性空间，维数为 $3$。
提示：最终答案是一个数字，不要忘记。
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