哈尔滨工程大学 2011年高等代数第2题
📝 题目
2．若实多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle \geq 1$ ，则三次多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$整除 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)-f(1)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，设出三次多项式
设三次多项式为 $g(x)$，则 $g(x)$ 整除 $f(x^3)-f(1)$。题目要求找出这样的三次多项式。
提示：注意多项式整除的定义：存在多项式 $h(x)$ 使得 $f(x^3)-f(1)=g(x)h(x)$。
步骤 2/6
目标：考虑特殊根，引入三次单位根
考虑 $f(x^3)-f(1)$，当 $x^3=1$ 时，$f(x^3)-f(1)=f(1)-f(1)=0$。因此，所有满足 $x^3=1$ 的 $x$ 都是 $f(x^3)-f(1)$ 的根。三次单位根为 $1$，$\omega$，$\omega^2$，其中 $\omega=e^{2\pi i/3}$，满足 $\omega^3=1$，$\omega\neq1$，且 $1+\omega+\omega^2=0$。
公式：$\omega^3=1$，$1+\omega+\omega^2=0$
提示：注意三次单位根包括实数1和两个共轭复数根。
步骤 3/6
目标：得到一次因式
由于 $1$，$\omega$，$\omega^2$ 都是 $f(x^3)-f(1)$ 的根，所以 $x-1$，$x-\omega$，$x-\omega^2$ 都是 $f(x^3)-f(1)$ 的因式。
提示：因式定理：若 $r$ 是多项式 $p(x)$ 的根，则 $x-r$ 整除 $p(x)$。
步骤 4/6
目标：组合成实系数二次因式
由于 $\omega$ 和 $\omega^2$ 是共轭的，它们的乘积 $(x-\omega)(x-\omega^2)=x^2-(\omega+\omega^2)x+\omega\omega^2=x^2+x+1$ 是实系数多项式。
公式：$(x-\omega)(x-\omega^2)=x^2+x+1$
提示：注意 $\omega+\omega^2=-1$，$\omega\omega^2=1$。
步骤 5/6
目标：得到三次因式
将一次因式和二次因式相乘得到三次多项式：$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$。因此 $x^3-1$ 整除 $f(x^3)-f(1)$。
公式：$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$
提示：注意 $x^3-1$ 是实系数多项式，且次数为3。
步骤 6/6
目标：验证结论
由于 $f(x^3)-f(1)$ 以所有三次单位根为零点，故 $x^3-1$ 是其因式。因此三次多项式 $x^3-1$ 整除 $f(x^3)-f(1)$。
提示：注意 $f(x)$ 是实多项式，但 $f(x^3)-f(1)$ 可能含有复系数，但 $x^3-1$ 是实系数，整除关系在实系数多项式环中成立。
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