哈尔滨工程大学 2011年高等代数第3题
📝 题目
3．行列式 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1+a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & 1+a_{2} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & 1+a_{n}\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将第2至n列加到第1列
将行列式 $D_n$ 的第 $2,3,\dots,n$ 列都加到第 $1$ 列，得到新行列式：
$$D_n = \begin{vmatrix}
1+\sum_{i=1}^n a_i & a_2 & \cdots & a_n \\
1+\sum_{i=1}^n a_i & 1+a_2 & \cdots & a_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1+\sum_{i=1}^n a_i & a_2 & \cdots & 1+a_n
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式列加法性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意所有列都加到第1列，第1列每个元素都变成 $1+\sum_{i=1}^n a_i$。
步骤 2/5
目标：提取第1列公因子
第1列所有元素都有公因子 $1+\sum_{i=1}^n a_i$，将其提出，得：
$$D_n = \left(1+\sum_{i=1}^n a_i\right)
\begin{vmatrix}
1 & a_2 & \cdots & a_n \\
1 & 1+a_2 & \cdots & a_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_2 & \cdots & 1+a_n
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式提取公因子：若某行（列）有公因子，可提出。
提示：提取公因子后，第1列元素变为1。
步骤 3/5
目标：将第1行乘以-1加到其余各行
将第1行乘以 $-1$ 分别加到第 $2,3,\dots,n$ 行，得到：
$$D_n = \left(1+\sum_{i=1}^n a_i\right)
\begin{vmatrix}
1 & a_2 & \cdots & a_n \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}.$$
公式：行列式行加法性质：将一行的倍数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意第2行第2列变为 $(1+a_2)-a_2=1$，类似地，第 $i$ 行第 $i$ 列变为1，非对角线元素变为0。
步骤 4/5
目标：计算上三角行列式
所得行列式为下三角行列式（实际上是对角线元素为1，其余为0），其值等于对角线元素的乘积，即 $1 \times 1 \times \cdots \times 1 = 1$。因此：
$$D_n = \left(1+\sum_{i=1}^n a_i\right) \times 1 = 1+\sum_{i=1}^n a_i.$$
公式：三角行列式的值等于对角线元素的乘积。
提示：注意行列式是下三角形式，直接计算即可。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，原行列式的值为 $1+\sum_{i=1}^n a_i$。
提示：最终结果简洁，注意不要遗漏常数1。
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