哈尔滨工程大学 2011年高等代数第4题
📝 题目
4．若 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A, B=A+B$ ，则 $\displaystyle A B-B A=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $A, B = A + B$，这里逗号表示乘法，即 $AB = A + B$。
公式：AB = A + B
提示：注意题目中逗号表示矩阵乘法，不要误解为其他运算。
步骤 2/6
目标：移项并因式分解
将 $AB = A + B$ 移项得 $AB - A - B = 0$。添加单位矩阵 $I$ 进行配方：$AB - A - B + I = I$，即 $(A - I)(B - I) = I$。
公式：(A - I)(B - I) = I
提示：注意因式分解时添加 $I$ 的技巧，确保等式成立。
步骤 3/6
目标：得出互逆关系
由 $(A - I)(B - I) = I$ 可知 $A - I$ 与 $B - I$ 互逆，因此 $(B - I)(A - I) = I$。
公式：(B - I)(A - I) = I
提示：矩阵乘法不交换，但互逆矩阵的乘积顺序可交换。
步骤 4/6
目标：展开逆关系
展开 $(B - I)(A - I) = BA - B - A + I = I$，化简得 $BA - B - A = 0$，即 $BA = A + B$。
公式：BA = A + B
提示：展开时注意矩阵乘法顺序，$BA$ 与 $AB$ 不同。
步骤 5/6
目标：比较AB和BA
由 $AB = A + B$ 和 $BA = A + B$ 得 $AB = BA$。
公式：AB = BA
提示：注意这里 $AB$ 和 $BA$ 相等，但一般情况下不成立。
步骤 6/6
目标：计算差值
因此 $AB - BA = 0$。
公式：AB - BA = 0
提示：直接代入相等关系即可。
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