哈尔滨工程大学 2011年高等代数第5题
📝 题目
5．若 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle V=\left\{X \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid S X=X S\right\}$ 作为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间的维数为
$\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设未知矩阵并计算SX
设 $X = (x_{ij})_{3\times 3}$，计算 $SX$：
$$SX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11}+x_{31} & x_{12}+x_{32} & x_{13}+x_{33} \\ x_{21}+x_{31} & x_{22}+x_{32} & x_{23}+x_{33} \\ 2x_{21}+2x_{31} & 2x_{22}+2x_{32} & 2x_{23}+2x_{33} \end{pmatrix}$$
提示：注意矩阵乘法顺序，SX中S左乘X。
步骤 2/6
目标：计算XS
计算 $XS$：
$$XS = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}+2x_{13} & x_{11}+x_{12}+2x_{13} \\ x_{21} & x_{22}+2x_{23} & x_{21}+x_{22}+2x_{23} \\ x_{31} & x_{32}+2x_{33} & x_{31}+x_{32}+2x_{33} \end{pmatrix}$$
提示：注意矩阵乘法顺序，XS中X左乘S。
步骤 3/6
目标：建立方程组
令 $SX = XS$，对应元素相等，得到9个方程：
(1) $x_{11}+x_{31}=x_{11}$ → $x_{31}=0$
(2) $x_{12}+x_{32}=x_{12}+2x_{13}$ → $x_{32}=2x_{13}$
(3) $x_{13}+x_{33}=x_{11}+x_{12}+2x_{13}$ → $x_{33}=x_{11}+x_{12}+x_{13}$
(4) $x_{21}+x_{31}=x_{21}$ → $x_{31}=0$（重复）
(5) $x_{22}+x_{32}=x_{22}+2x_{23}$ → $x_{32}=2x_{23}$
(6) $x_{23}+x_{33}=x_{21}+x_{22}+2x_{23}$ → $x_{33}=x_{21}+x_{22}+x_{23}$
(7) $2x_{21}+2x_{31}=x_{31}$ → $2x_{21}=x_{31}$，结合 $x_{31}=0$ 得 $x_{21}=0$
(8) $2x_{22}+2x_{32}=x_{32}+2x_{33}$ → $2x_{22}+x_{32}=2x_{33}$
(9) $2x_{23}+2x_{33}=x_{31}+x_{32}+2x_{33}$ → $2x_{23}=x_{31}+x_{32}$，结合 $x_{31}=0$ 得 $2x_{23}=x_{32}$
提示：注意方程(4)与(1)重复，方程(7)和(9)利用了前面的结果。
步骤 4/6
目标：化简方程
由(2)和(5)得 $x_{32}=2x_{13}=2x_{23}$，所以 $x_{13}=x_{23}$。
由(3)和(6)得 $x_{11}+x_{12}+x_{13}=x_{21}+x_{22}+x_{23}$，代入 $x_{21}=0$ 和 $x_{13}=x_{23}$ 得 $x_{11}+x_{12}=x_{22}$。
方程(8) $2x_{22}+x_{32}=2x_{33}$，代入 $x_{22}=x_{11}+x_{12}$，$x_{33}=x_{11}+x_{12}+x_{13}$，$x_{32}=2x_{13}$ 得 $2(x_{11}+x_{12})+2x_{13}=2(x_{11}+x_{12}+x_{13})$，恒成立。
方程(9) $2x_{23}=x_{32}$ 即 $2x_{13}=2x_{13}$，恒成立。
提示：注意代入化简时保持等式平衡。
步骤 5/6
目标：确定自由参数
自由变量为 $x_{11}, x_{12}, x_{13}$，其余变量表示为：
$x_{21}=0$，$x_{22}=x_{11}+x_{12}$，$x_{23}=x_{13}$，$x_{31}=0$，$x_{32}=2x_{13}$，$x_{33}=x_{11}+x_{12}+x_{13}$。
令 $a=x_{11}, b=x_{12}, c=x_{13}$，则
$$X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a+b & c \\ 0 & 2c & a+b+c \end{pmatrix}$$
提示：注意自由参数的个数即为维数。
步骤 6/6
目标：计算维数
线性空间 $V$ 由所有这样的 $X$ 组成，其维数等于自由参数的个数，即 $3$。
提示：维数即线性无关的基向量的个数，这里三个参数对应三个基矩阵。
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