哈尔滨工程大学 2011年高等代数第6题
📝 题目
6．若 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶方阵 $A$ 的行列式为 1 ，则 $\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用行列式条件简化
已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$n \geq 3$，且 $\det(A)=1$。
提示：注意 $n \geq 3$ 的条件，后面公式中 $n-2$ 指数有意义。
步骤 2/6
目标：计算伴随矩阵的行列式
由伴随矩阵性质，$\det(A^*) = \det(A)^{n-1} = 1^{n-1} = 1$。
公式：$\det(A^*) = \det(A)^{n-1}$
提示：伴随矩阵的行列式公式容易记错指数，注意是 $n-1$ 次方。
步骤 3/6
目标：将伴随矩阵表示为逆矩阵
因为 $\det(A)=1$，所以 $A A^* = \det(A) I = I$，故 $A^* = A^{-1}$。
公式：$A A^* = \det(A) I$
提示：仅当 $\det(A)=1$ 时 $A^* = A^{-1}$，一般情况 $A^* = \det(A) A^{-1}$。
步骤 4/6
目标：应用双重伴随矩阵公式
对于任意可逆矩阵 $B$，有 $(B^*)^* = \det(B)^{n-2} B$。令 $B = A^*$，则 $(A^*)^* = \det(A^*)^{n-2} A^*$。
公式：$(B^*)^* = \det(B)^{n-2} B$
提示：此公式要求 $B$ 可逆，且 $n \geq 2$，这里 $n \geq 3$ 满足。
步骤 5/6
目标：代入行列式值
由步骤2，$\det(A^*)=1$，所以 $(A^*)^* = 1^{n-2} A^* = A^*$。
提示：任何数的0次方为1，但这里指数 $n-2 \geq 1$，直接代入即可。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，$(A^*)^* = A^*$。
提示：注意结果是一个矩阵，不是数值。
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