哈尔滨工程大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
五、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，试求 $\displaystyle A^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征值
计算特征多项式 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -4 & -2 \\ 0 & \lambda+3 & -4 \\ 0 & -4 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-1)[(\lambda+3)(\lambda-3)-16] = (\lambda-1)(\lambda^2-25) = (\lambda-1)(\lambda-5)(\lambda+5)$，得特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=5, \lambda_3=-5$。
公式：$\det(\lambda I - A)=0$
提示：注意按第一列展开简化计算。
步骤 2/6
目标：求特征向量
对于 $\lambda=1$，解 $(I-A)\mathbf{x}=0$：$\begin{pmatrix}0 & -4 & -2 \\ 0 & 4 & -4 \\ 0 & -4 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，得 $\mathbf{x}_1=(1,0,0)^T$。
对于 $\lambda=5$，解 $(5I-A)\mathbf{x}=0$：$\begin{pmatrix}4 & -4 & -2 \\ 0 & 8 & -4 \\ 0 & -4 & 2\end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，得 $\mathbf{x}_2=(2,1,2)^T$。
对于 $\lambda=-5$，解 $(-5I-A)\mathbf{x}=0$：$\begin{pmatrix}-6 & -4 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -4 & -8\end{pmatrix}\mathbf{x}=0$，得 $\mathbf{x}_3=(1,2,-1)^T$。
公式：$(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$
提示：解齐次线性方程组时注意自由变量的选取。
步骤 3/6
目标：构造可逆矩阵P和对角矩阵Λ
令 $P = (\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3) = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -1\end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(1,5,-5)$。
公式：$P^{-1}AP=\Lambda$
提示：特征向量顺序需与特征值顺序一致。
步骤 4/6
目标：计算P的逆矩阵
计算 $\det P = 1\cdot(1\cdot(-1)-2\cdot2) = -5$，得 $P^{-1} = -\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -5 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1} = \frac{1}{\det P} \operatorname{adj}(P)$
提示：注意伴随矩阵的符号和转置。
步骤 5/6
目标：计算A^n的表达式
由 $A^n = P \Lambda^n P^{-1}$，先计算 $P\Lambda^n = \begin{pmatrix}1 & 2\cdot5^n & (-5)^n \\ 0 & 5^n & 2\cdot(-5)^n \\ 0 & 2\cdot5^n & -(-5)^n\end{pmatrix}$，再乘以 $P^{-1}$ 得
$$A^n = \begin{pmatrix}1 & 2\cdot5^n & (-5)^n \\ 0 & 5^n & 2\cdot(-5)^n \\ 0 & 2\cdot5^n & -(-5)^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -\frac{4}{5}+\frac{2}{5}\cdot5^n+\frac{2}{5}(-5)^n & -\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\cdot5^n-\frac{1}{5}(-5)^n \\ 0 & \frac{1}{5}\cdot5^n+\frac{4}{5}(-5)^n & \frac{2}{5}\cdot5^n-\frac{2}{5}(-5)^n \\ 0 & \frac{2}{5}\cdot5^n-\frac{2}{5}(-5)^n & \frac{4}{5}\cdot5^n+\frac{1}{5}(-5)^n\end{pmatrix}.$$
公式：$A^n = P \Lambda^n P^{-1}$
提示：矩阵乘法注意顺序，先乘P和Λ^n再乘P^{-1}。
步骤 6/6
目标：化简并分奇偶讨论
化简得
$$A^n = \begin{pmatrix}1 & \frac{2}{5}(5^n+(-5)^n-2) & \frac{1}{5}(4\cdot5^n-(-5)^n-3) \\ 0 & \frac{1}{5}(5^n+4(-5)^n) & \frac{2}{5}(5^n-(-5)^n) \\ 0 & \frac{2}{5}(5^n-(-5)^n) & \frac{1}{5}(4\cdot5^n+(-5)^n)\end{pmatrix}.$$
当 $n$ 为奇数时，$(-5)^n = -5^n$，代入得
$$A^n = \begin{pmatrix}1 & -\frac{4}{5} & 5^n-\frac{3}{5} \\ 0 & -\frac{3}{5}\cdot5^n & \frac{4}{5}\cdot5^n \\ 0 & \frac{4}{5}\cdot5^n & \frac{3}{5}\cdot5^n\end{pmatrix}.$$
当 $n$ 为偶数时，$(-5)^n = 5^n$，代入得
$$A^n = \begin{pmatrix}1 & \frac{4}{5}(5^n-1) & \frac{3}{5}(5^n-1) \\ 0 & 5^n & 0 \\ 0 & 0 & 5^n\end{pmatrix}.$$
公式：分情况代入 $(-5)^n$
提示：注意 $(-5)^n$ 在奇偶时的符号变化。
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