📝 哈尔滨工程大学 2012年高等代数真题

三、设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明：
（1）若 $B$ 正定，则 $\displaystyle A B$ 的特征值皆大于 0 ；
（2）若 $B$ 正定，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A B$ 正定．

二、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 2 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 3 b & 1\end{array}\right), B$ 是三阶非零方阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，求 $\displaystyle a, b$ 以及 $B$ 的秩．

五、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，试求 $\displaystyle A^{n}$ ．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 元实对称矩阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

六、设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，已知 $A$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle A A^{T}=A^{T} A$ ，证明：$A$ 必为对称矩阵。

四、 $A$ 为 $n$ 阶方阵，如果 $\displaystyle A^{2}=E$ ，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则 $\displaystyle \mathrm{ran}(\not A+B)+\mathrm{r}(\mathrm{a} \hbar \mathrm{k}) A=$ ．

1．三阶行列式有两个元素为 4 ，其余为 $\displaystyle \pm 1$ ，则此行列式可能的最大值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \alpha, \beta$ 皆为三维列向量，$\displaystyle A=\left(\alpha, 2 \gamma_{1}, 3 \gamma_{2}\right), B=\left(\beta, \gamma_{1}, 2 \gamma_{2}\right)$ 且 $\displaystyle |A|=18,|B|=4$ ，则 $\displaystyle |A-B|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

3．三阶方阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,-1,2$ ，则 $\displaystyle A^{2}+4 A^{-1}$ 的特征值 $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．若不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f^{(k)}(x)$ 的 $s$ 重因子，且 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ ，那么 $\displaystyle p(x)$ $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle s+k$ 重因子．

5．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & a & 9 \\ 0 & 6 & 0 \\ 4 & 2 b & 0\end{array}\right)$ 相似于对角阵，则 $a$ 与 $b$ 的关系式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的内积为 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{\prime} A \beta, A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{0}{1}$ 在此内积之下的度量矩阵为
$\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3,4$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，在矩阵方程 $\displaystyle A X=B$ 有解的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．设 $A$ 为正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=-1$ ，则 $A$ 必有特征值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

10．向量组 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, k), \alpha_{2}=(1, k, 1), \alpha_{3}=(1,1, k)$ 是线性无关的，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．