哈尔滨工程大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 元实对称矩阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将B合同于单位矩阵
由于$B$是正定实对称矩阵，存在实可逆矩阵$Q$使得$Q^T B Q = I$。这是因为正定矩阵可以合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵$Q$使得$Q^T B Q = I$。
公式：Q^T B Q = I
提示：注意$Q$是可逆的，且$B$正定保证存在这样的$Q$。
步骤 2/7
目标：定义对称矩阵C
令$C = Q^T A Q$。由于$A$是实对称矩阵，且$Q$是实可逆矩阵，则$C$也是实对称矩阵。
公式：C = Q^T A Q
提示：验证$C$的对称性：$C^T = (Q^T A Q)^T = Q^T A^T Q = Q^T A Q = C$。
步骤 3/7
目标：将C正交对角化
由于$C$是实对称矩阵，存在正交矩阵$R$（即$R^T R = I$）使得$R^T C R = \Lambda$为对角矩阵，其中$\Lambda$的对角线元素是$C$的特征值。
公式：R^T C R = \Lambda
提示：正交矩阵$R$满足$R^T = R^{-1}$，且$R$的列向量是$C$的单位正交特征向量。
步骤 4/7
目标：构造可逆矩阵P
取$P = QR$，则$P$是可逆矩阵，因为$Q$和$R$均可逆。
公式：P = QR
提示：可逆矩阵的乘积仍可逆。
步骤 5/7
目标：验证P^T B P为对角阵
计算$P^T B P = (QR)^T B (QR) = R^T (Q^T B Q) R = R^T I R = I$，即单位矩阵，显然是对角阵。
公式：P^T B P = I
提示：注意$Q^T B Q = I$，且$R^T I R = I$。
步骤 6/7
目标：验证P^T A P为对角阵
计算$P^T A P = (QR)^T A (QR) = R^T (Q^T A Q) R = R^T C R = \Lambda$，即对角矩阵。
公式：P^T A P = \Lambda
提示：注意$C = Q^T A Q$，且$R^T C R = \Lambda$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，存在实可逆矩阵$P$使得$P^T A P$和$P^T B P$同时为对角阵。
提示：注意$P$是实矩阵，因为$Q$和$R$都是实矩阵。
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