哈尔滨工程大学 2012年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，在矩阵方程 $\displaystyle A X=B$ 有解的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解矩阵方程与线性方程组的关系
将矩阵方程 $AX = B$ 按列分块。设 $X = [x_1, x_2, \dots, x_n]$，$B = [b_1, b_2, \dots, b_n]$，其中 $x_j, b_j \in \mathbb{R}^m$。则 $AX = B$ 等价于 $n$ 个线性方程组 $A x_j = b_j$，$j = 1, 2, \dots, n$。因此，原方程有解当且仅当每个 $A x_j = b_j$ 有解。
公式：AX = B \iff A x_j = b_j, \; j=1,\dots,n
提示：注意 $X$ 和 $B$ 的列数相同，均为 $n$。
步骤 2/5
目标：单个线性方程组有解的充要条件
对于每个 $j$，线性方程组 $A x_j = b_j$ 有解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的秩等于增广矩阵 $[A \mid b_j]$ 的秩，即 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid b_j])$。这等价于 $b_j$ 属于 $A$ 的列空间 $\operatorname{Col}(A)$。
公式：\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid b_j]) \iff b_j \in \operatorname{Col}(A)
提示：秩相等是线性方程组有解的核心条件，不要忘记增广矩阵。
步骤 3/5
目标：将所有方程组条件合并
由于所有方程组共享同一个系数矩阵 $A$，因此 $AX = B$ 有解当且仅当每个 $b_j$ 都属于 $\operatorname{Col}(A)$，即 $B$ 的所有列都属于 $A$ 的列空间：$\operatorname{Col}(B) \subseteq \operatorname{Col}(A)$。
公式：\operatorname{Col}(B) \subseteq \operatorname{Col}(A)
提示：注意是列空间包含关系，不是行空间。
步骤 4/5
目标：转化为秩的条件
列空间包含关系 $\operatorname{Col}(B) \subseteq \operatorname{Col}(A)$ 等价于增广矩阵 $[A \mid B]$ 的秩等于 $A$ 的秩。因为 $[A \mid B]$ 的列空间由 $A$ 的列和 $B$ 的列张成，若 $B$ 的列已在 $A$ 的列空间中，则添加 $B$ 的列不改变列空间的维数，即 $\operatorname{rank}([A \mid B]) = \operatorname{rank}(A)$。反之亦然。
公式：\operatorname{rank}([A \mid B]) = \operatorname{rank}(A)
提示：增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，这是充要条件。
步骤 5/5
目标：总结充要条件
因此，矩阵方程 $AX = B$ 有解的充要条件是 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid B])$。
公式：\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A \mid B])
提示：该条件与线性方程组 $Ax=b$ 有解的条件形式一致，但这里 $B$ 是矩阵。
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