哈尔滨工程大学 2012年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $A$ 为正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=-1$ ，则 $A$ 必有特征值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾正交矩阵的定义和性质
正交矩阵满足 $A^T A = I$，且行列式 $|A| = \pm 1$。本题已知 $|A| = -1$。
公式：A^T A = I
提示：注意正交矩阵的行列式只能是1或-1。
步骤 2/5
目标：考虑特征多项式在0处的值
特征多项式为 $f(\lambda) = |\lambda I - A|$。代入 $\lambda = 0$ 得 $f(0) = |-A| = (-1)^n |A| = (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1}$。
公式：f(0) = |-A| = (-1)^n |A|
提示：注意 $|-A| = (-1)^n |A|$，其中 $n$ 是矩阵阶数。
步骤 3/5
目标：分析正交矩阵特征值的性质
正交矩阵的特征值模为1，即 $|\lambda| = 1$。实特征值只能是 $\pm 1$，复特征值成对出现且模为1。
公式：|\lambda| = 1
提示：复特征值共轭成对，乘积为1。
步骤 4/5
目标：利用行列式与特征值的关系
行列式等于所有特征值的乘积：$|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i = -1$。由于特征值模为1，乘积为-1意味着 $-1$ 出现的次数为奇数。
公式：|A| = \prod \lambda_i
提示：注意特征值可能包含复数，但乘积为实数-1。
步骤 5/5
目标：推断必有特征值-1
因为 $-1$ 出现的次数为奇数，所以至少有一个特征值为 $-1$。因此 $-1$ 必为 $A$ 的特征值。
提示：如果所有特征值都是1，则乘积为1，矛盾。
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