哈尔滨工程大学 2012年高等代数第10题
📝 题目
10．向量组 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, k), \alpha_{2}=(1, k, 1), \alpha_{3}=(1,1, k)$ 是线性无关的，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别向量组中的重复向量
观察向量组 $\alpha_1=(1,1,k)$, $\alpha_2=(1,k,1)$, $\alpha_3=(1,1,k)$，发现 $\alpha_1$ 与 $\alpha_3$ 完全相同，即 $\alpha_1 = \alpha_3$。
提示：注意检查向量是否相同，避免遗漏重复向量。
步骤 2/4
目标：应用线性相关判定定理
根据线性代数理论，若向量组中存在两个向量相等，则该向量组必然线性相关。因为 $\alpha_1 = \alpha_3$，所以 $\alpha_1 - \alpha_3 = 0$，存在非零系数（如 $1,0,-1$）使得线性组合为零。
公式：若存在不全为零的系数 $c_1,c_2,\dots,c_m$ 使得 $c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_m\alpha_m = 0$，则向量组线性相关。
提示：线性相关定义中，系数不全为零即可，不需要所有系数非零。
步骤 3/4
目标：得出结论
由于向量组中存在重复向量，无论 $k$ 取何值，该向量组都线性相关。因此，不存在任何 $k$ 使得向量组线性无关。
提示：注意题目条件与结论的矛盾：题目说线性无关，但实际必相关，故无解。
步骤 4/4
目标：检查题目是否可能有误
常见题型中，$\alpha_3$ 常设为 $(k,1,1)$ 或 $(1,k,1)$ 等。若 $\alpha_3=(k,1,1)$，则需计算行列式并令其非零。但本题明确给出 $\alpha_3=(1,1,k)$，故按原题解答。
提示：考试中若遇到明显矛盾，可考虑题目印刷错误，但解答时应基于给定条件。
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