哈尔滨工程大学 2012年高等代数第7题
📝 题目
7．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3,4$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知矩阵 $A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3, \lambda_4=4$。
提示：注意特征值个数与矩阵阶数一致，共4个特征值。
步骤 2/5
目标：推导 $A^2$ 的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^2$ 是 $A^2$ 的特征值。因为存在非零向量 $\mathbf{v}$ 使得 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$，两边左乘 $A$ 得 $A^2\mathbf{v}=A(\lambda\mathbf{v})=\lambda A\mathbf{v}=\lambda^2\mathbf{v}$。
公式：$A^2\mathbf{v}=\lambda^2\mathbf{v}$
提示：注意该性质对任意方阵成立，无需对角化。
步骤 3/5
目标：计算 $A^2$ 的特征值
将 $A$ 的特征值平方：$1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$。因此 $A^2$ 的特征值为 $1,4,9,16$。
提示：平方运算时注意符号，但本题特征值均为正。
步骤 4/5
目标：回忆迹的性质
矩阵的迹等于其特征值之和（计重数）。对于 $A^2$，有 $\operatorname{tr}(A^2) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i^2$。
公式：$\operatorname{tr}(M) = \sum \mu_i$，其中 $\mu_i$ 是 $M$ 的特征值
提示：迹是特征值之和，与矩阵是否可对角化无关。
步骤 5/5
目标：计算迹
求和：$1+4+9+16 = 30$。因此 $\operatorname{tr}(A^2)=30$。
提示：计算时注意加法准确性。
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