哈尔滨工程大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
六、设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，已知 $A$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle A A^{T}=A^{T} A$ ，证明：$A$ 必为对称矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，特征值全为实数，且 $AA^T = A^T A$（即 $A$ 是实正规矩阵）。要证明 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$。
提示：注意区分实正规矩阵与对称矩阵的定义。
步骤 2/7
目标：回忆实正规矩阵的正交对角化条件
实正规矩阵可正交对角化当且仅当其特征值全为实数。这里特征值全为实数，故存在正交矩阵 $Q$（即 $Q^T Q = I$）使得 $Q^T A Q = \Lambda$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，对角线元素为 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{R}$。
公式：实正规矩阵正交对角化条件
提示：正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$。
步骤 3/7
目标：写出正交对角化形式
由 $Q^T A Q = \Lambda$ 可得 $A = Q \Lambda Q^T$。
公式：$A = Q \Lambda Q^T$
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，所以 $Q^T = Q^{-1}$。
步骤 4/7
目标：计算 $A^T$
对 $A = Q \Lambda Q^T$ 取转置：$A^T = (Q \Lambda Q^T)^T = (Q^T)^T \Lambda^T Q^T = Q \Lambda^T Q^T$。
公式：$(ABC)^T = C^T B^T A^T$
提示：转置运算顺序要正确。
步骤 5/7
目标：利用 $\Lambda$ 是对角矩阵简化
因为 $\Lambda$ 是对角矩阵，所以 $\Lambda^T = \Lambda$。于是 $A^T = Q \Lambda Q^T$。
公式：$\Lambda^T = \Lambda$
提示：对角矩阵的转置等于自身。
步骤 6/7
目标：比较 $A$ 与 $A^T$
由 $A = Q \Lambda Q^T$ 和 $A^T = Q \Lambda Q^T$ 可知 $A^T = A$。
提示：直接比较表达式即可。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $A$ 是对称矩阵。
提示：对称矩阵定义为 $A^T = A$。
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