哈尔滨工程大学 2012年高等代数第0题
📝 题目
四、 $A$ 为 $n$ 阶方阵，如果 $\displaystyle A^{2}=E$ ，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则 $\displaystyle \mathrm{ran}(\not A+B)+\mathrm{r}(\mathrm{a} \hbar \mathrm{k}) A=$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解条件并分析矩阵性质
已知 $A^2 = E$，即 $A$ 是对合矩阵。由 $A^2 - E = 0$ 得 $(A-E)(A+E)=0$，且 $A$ 的最小多项式 $m(\lambda)=\lambda^2-1$ 无重根，故 $A$ 可对角化。
公式：A^2 = E
提示：注意 $A$ 不一定是对称矩阵，但可对角化。
步骤 2/7
目标：确定特征值
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^2=1$，所以 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$。设特征值 $1$ 的代数重数为 $p$，$-1$ 的代数重数为 $q$，则 $p+q=n$。
公式：\lambda^2 = 1
提示：特征值只有 $\pm 1$，但注意代数重数与几何重数相等。
步骤 3/7
目标：对角化表示
由于 $A$ 可对角化，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\underbrace{1,\dots,1}_{p},\underbrace{-1,\dots,-1}_{q})$。
公式：P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,\dots,1,-1,\dots,-1)
提示：对角化是后续计算秩的关键。
步骤 4/7
目标：计算 $\operatorname{rank}(A+E)$
由 $P^{-1}(A+E)P = \operatorname{diag}(2,\dots,2,0,\dots,0)$，其中 $2$ 出现 $p$ 次，$0$ 出现 $q$ 次。故 $\operatorname{rank}(A+E) = p$。
公式：\operatorname{rank}(A+E) = p
提示：注意 $A+E$ 的秩等于特征值 $1$ 的几何重数。
步骤 5/7
目标：计算 $\operatorname{rank}(A-E)$
由 $P^{-1}(A-E)P = \operatorname{diag}(0,\dots,0,-2,\dots,-2)$，其中 $0$ 出现 $p$ 次，$-2$ 出现 $q$ 次。故 $\operatorname{rank}(A-E) = q$。
公式：\operatorname{rank}(A-E) = q
提示：注意 $A-E$ 的秩等于特征值 $-1$ 的几何重数。
步骤 6/7
目标：求和并得出结果
因此 $\operatorname{rank}(A+E) + \operatorname{rank}(A-E) = p + q = n$。
公式：\operatorname{rank}(A+E) + \operatorname{rank}(A-E) = n
提示：注意题目中可能笔误，常见题型求的是 $\operatorname{rank}(A+E)+\operatorname{rank}(A-E)$。
步骤 7/7
目标：处理题目中的笔误
原题中写的是 $\mathrm{ran}(\not A+B)+\mathrm{r}(\mathrm{a} \hbar \mathrm{k}) A$，疑似笔误。若理解为 $\operatorname{rank}(A+E)+\operatorname{rank}(A)$，则 $\operatorname{rank}(A)=p+q=n$，故和为 $p+n$，但 $p$ 未知。根据常见题型，最合理的答案是 $n$。
提示：注意题目符号可能错误，应结合上下文判断。
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