哈尔滨工程大学 2012年高等代数第2题
📝 题目
2．$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \alpha, \beta$ 皆为三维列向量，$\displaystyle A=\left(\alpha, 2 \gamma_{1}, 3 \gamma_{2}\right), B=\left(\beta, \gamma_{1}, 2 \gamma_{2}\right)$ 且 $\displaystyle |A|=18,|B|=4$ ，则 $\displaystyle |A-B|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算A-B的矩阵表达式
由 $A = (\alpha, 2\gamma_1, 3\gamma_2)$，$B = (\beta, \gamma_1, 2\gamma_2)$，得 $A-B = (\alpha-\beta, 2\gamma_1-\gamma_1, 3\gamma_2-2\gamma_2) = (\alpha-\beta, \gamma_1, \gamma_2)$。
提示：注意矩阵减法是对应列相减，不要混淆顺序。
步骤 2/5
目标：利用行列式的多重线性性质拆分第一列
行列式对第一列是线性的，因此 $|A-B| = |\alpha-\beta, \gamma_1, \gamma_2| = |\alpha, \gamma_1, \gamma_2| - |\beta, \gamma_1, \gamma_2|$。
公式：$|\alpha-\beta, \gamma_1, \gamma_2| = |\alpha, \gamma_1, \gamma_2| - |\beta, \gamma_1, \gamma_2|$
提示：注意符号：拆开时第二项是减号，因为行列式是多重线性且反对称，但这里只是线性，没有交换列，所以直接减。
步骤 3/5
目标：由|A|求|α, γ1, γ2|
由 $A = (\alpha, 2\gamma_1, 3\gamma_2)$，利用行列式的多重线性性质：$|A| = |\alpha, 2\gamma_1, 3\gamma_2| = 2 \times 3 \times |\alpha, \gamma_1, \gamma_2| = 6|\alpha, \gamma_1, \gamma_2| = 18$，所以 $|\alpha, \gamma_1, \gamma_2| = 3$。
公式：$|k_1 v_1, k_2 v_2, k_3 v_3| = k_1 k_2 k_3 |v_1, v_2, v_3|$
提示：注意系数要乘到对应列上，不要漏乘。
步骤 4/5
目标：由|B|求|β, γ1, γ2|
由 $B = (\beta, \gamma_1, 2\gamma_2)$，得 $|B| = |\beta, \gamma_1, 2\gamma_2| = 2 \times |\beta, \gamma_1, \gamma_2| = 4$，所以 $|\beta, \gamma_1, \gamma_2| = 2$。
公式：同上
提示：注意只有第三列有系数2，不要误乘到其他列。
步骤 5/5
目标：代入计算|A-B|
将 $|\alpha, \gamma_1, \gamma_2| = 3$ 和 $|\beta, \gamma_1, \gamma_2| = 2$ 代入 $|A-B| = 3 - 2 = 1$。
提示：注意减法顺序，不要搞反。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。