哈尔滨工程大学 2012年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的内积为 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{\prime} A \beta, A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{0}{1}$ 在此内积之下的度量矩阵为
$\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确基向量
给定基向量 $\alpha_1 = \binom{1}{0}$ 和 $\alpha_2 = \binom{0}{1}$，它们是 $\mathbb{R}^2$ 的标准基。
提示：注意基向量是列向量，内积定义中 $\alpha'$ 是行向量。
步骤 2/7
目标：回忆度量矩阵定义
度量矩阵 $G$ 的元素 $g_{ij} = (\alpha_i, \alpha_j) = \alpha_i' A \alpha_j$，其中 $A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$。
公式：$g_{ij} = \alpha_i' A \alpha_j$
提示：度量矩阵是对称矩阵，因为内积对称。
步骤 3/7
目标：计算 $g_{11}$
$g_{11} = \alpha_1' A \alpha_1 = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} = 2$。
提示：矩阵乘法顺序：先计算 $A \alpha_1$，再左乘 $\alpha_1'$。
步骤 4/7
目标：计算 $g_{12}$
$g_{12} = \alpha_1' A \alpha_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = 1$。
提示：注意 $g_{12} = g_{21}$，可验证对称性。
步骤 5/7
目标：计算 $g_{21}$
$g_{21} = \alpha_2' A \alpha_1 = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} = 1$。
提示：与 $g_{12}$ 相同，验证计算正确性。
步骤 6/7
目标：计算 $g_{22}$
$g_{22} = \alpha_2' A \alpha_2 = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = 2$。
提示：注意 $g_{22}$ 与 $g_{11}$ 相等，因为 $A$ 对称且基向量对称。
步骤 7/7
目标：写出度量矩阵
将计算得到的 $g_{ij}$ 按顺序排列成矩阵：$G = \begin{pmatrix}g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$。
提示：度量矩阵与内积矩阵 $A$ 相同，因为基是标准基。
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