哈尔滨工程大学 2012年高等代数第5题
📝 题目
5．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & a & 9 \\ 0 & 6 & 0 \\ 4 & 2 b & 0\end{array}\right)$ 相似于对角阵，则 $a$ 与 $b$ 的关系式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：判断可对角化条件
矩阵 $A$ 相似于对角阵当且仅当 $A$ 可对角化，即每个特征值的几何重数等于代数重数。
提示：注意区分相似于对角阵与可对角化是等价的。
步骤 2/8
目标：计算特征多项式
计算 $\det(\lambda I - A)$：
$$\det\begin{pmatrix}\lambda & -a & -9 \\ 0 & \lambda-6 & 0 \\ -4 & -2b & \lambda\end{pmatrix} = (\lambda-6)\det\begin{pmatrix}\lambda & -9 \\ -4 & \lambda\end{pmatrix} = (\lambda-6)(\lambda^2-36) = (\lambda-6)^2(\lambda+6).$$
公式：行列式按第二行展开
提示：展开时注意符号，第二行只有一个非零元。
步骤 3/8
目标：确定特征值及其代数重数
特征值为 $\lambda_1=6$（二重），$\lambda_2=-6$（一重）。
提示：代数重数即特征多项式根的重数。
步骤 4/8
目标：分析二重特征值的几何重数条件
对于 $\lambda=6$，代数重数为2，需几何重数为2，即 $\operatorname{rank}(6I-A)=3-2=1$。
公式：几何重数 = $n - \operatorname{rank}(\lambda I - A)$
提示：几何重数不能超过代数重数。
步骤 5/8
目标：构造矩阵并化简
$$6I-A = \begin{pmatrix}6 & -a & -9 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & -2b & 6\end{pmatrix}.$$ 交换第一行和第三行，然后对第三行进行行变换：$R_3 \leftarrow R_3 + \frac{3}{2}R_1$，得到
$$\begin{pmatrix}-4 & -2b & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -a-3b & 0\end{pmatrix}.$$
提示：行变换要小心，避免计算错误。
步骤 6/8
目标：由秩为1导出条件
秩为1要求所有2阶子式为零。考虑左上角2阶子式：
$$\begin{vmatrix}-4 & -2b \\ 0 & -a-3b\end{vmatrix} = (-4)(-a-3b)=4(a+3b)=0,$$ 故 $a+3b=0$。其他子式自动满足。
公式：子式为零条件
提示：只需检查一个非零子式即可，因为其他行成比例。
步骤 7/8
目标：验证单特征值条件
对于 $\lambda=-6$，代数重数为1，几何重数自动为1，无需额外条件。
提示：单特征值总是几何重数等于代数重数。
步骤 8/8
目标：总结关系式
因此 $a$ 与 $b$ 的关系式为 $a+3b=0$。
提示：最终答案要写成等式形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。