哈尔滨工程大学 2012年高等代数第4题
📝 题目
4．若不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f^{(k)}(x)$ 的 $s$ 重因子，且 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ ，那么 $\displaystyle p(x)$ $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle s+k$ 重因子．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件
已知不可约多项式 $p(x)$ 是 $f^{(k)}(x)$ 的 $s$ 重因子，即 $p(x)^s \mid f^{(k)}(x)$ 但 $p(x)^{s+1} \nmid f^{(k)}(x)$。同时 $p(x) \mid f(x)$，因此 $f(x)$ 可写为 $f(x) = p(x)^m g(x)$，其中 $p(x) \nmid g(x)$，且 $m \ge 1$。
提示：注意 $p(x)$ 不可约，且 $g(x)$ 与 $p(x)$ 互素。
步骤 2/5
目标：对 $f(x)$ 求 $k$ 阶导数
利用 Leibniz 公式求 $f^{(k)}(x)$。设 $f(x)=p(x)^m g(x)$，则 $f^{(k)}(x)$ 的每一项都包含 $p(x)$ 的因子，其最低次数为 $m-k$（当 $k \le m$ 时）。由于 $p(x)$ 不可约，$p'(x)$ 与 $p(x)$ 互素，因此 $p(x)$ 在 $f^{(k)}(x)$ 中的重数恰好为 $m-k$。
公式：Leibniz 公式：$(uv)^{(k)} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} u^{(i)} v^{(k-i)}$
提示：注意 $p(x)$ 的导数与 $p(x)$ 互素，因此不会增加 $p(x)$ 的重数。
步骤 3/5
目标：建立等式关系
由已知，$p(x)$ 是 $f^{(k)}(x)$ 的 $s$ 重因子，即 $f^{(k)}(x)$ 中 $p(x)$ 的重数为 $s$。根据上一步，该重数等于 $m-k$，因此有 $m-k = s$。
提示：注意 $k \le m$ 是隐含条件，否则 $f^{(k)}(x)$ 中 $p(x)$ 的重数可能为0，与 $s \ge 1$ 矛盾。
步骤 4/5
目标：求解 $m$
由 $m-k = s$ 得 $m = s+k$。因此 $f(x) = p(x)^{s+k} g(x)$，且 $p(x) \nmid g(x)$。
提示：注意 $m$ 是 $p(x)$ 在 $f(x)$ 中的重数。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $f(x) = p(x)^{s+k} g(x)$ 且 $p(x) \nmid g(x)$，所以 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $s+k$ 重因子。
提示：结论成立的前提是 $p(x)$ 不可约，且 $p(x) \mid f(x)$。
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