哈尔滨工程大学 2013年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1, g(x)=x^{4}-4 \sqrt{2} x^{3}+6 x^{2}+4 \sqrt{2} x+1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 的首 1 最大公因式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：因式分解 f(x)
令 $t = x^2$，则 $f(x) = t^2 - 10t + 1$。解二次方程 $t^2 - 10t + 1 = 0$，判别式 $\Delta = 100 - 4 = 96 = (4\sqrt{6})^2$，得 $t = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$。注意到 $5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$，$5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$，因此 $f(x) = (x^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2)(x^2 - (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2) = (x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}+\sqrt{2})(x+\sqrt{3}-\sqrt{2})$。
公式：$x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$
提示：注意 $5 \pm 2\sqrt{6}$ 可以写成完全平方形式，需要熟悉 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 的运算。
步骤 2/4
目标：因式分解 g(x)
观察 $g(x) = x^4 - 4\sqrt{2}x^3 + 6x^2 + 4\sqrt{2}x + 1$，猜测它是完全平方。设 $g(x) = (x^2 + ax + b)^2$，展开得 $x^4 + 2a x^3 + (a^2+2b)x^2 + 2ab x + b^2$。比较系数：$2a = -4\sqrt{2} \Rightarrow a = -2\sqrt{2}$；$b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1$；$a^2+2b = 8+2b = 6 \Rightarrow b = -1$；$2ab = 2(-2\sqrt{2})(-1) = 4\sqrt{2}$ 匹配。所以 $g(x) = (x^2 - 2\sqrt{2}x - 1)^2$。再因式分解 $x^2 - 2\sqrt{2}x - 1$，判别式 $\Delta = 8+4=12=(2\sqrt{3})^2$，根为 $\frac{2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \pm \sqrt{3}$，因此 $g(x) = (x-\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 (x-\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$。
公式：$(x^2+ax+b)^2 = x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2$
提示：注意系数匹配时，$b$ 取 $-1$ 才能满足 $a^2+2b=6$，不要遗漏负号。
步骤 3/4
目标：找出公因式
比较 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的因式分解结果：$f(x) = (x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}+\sqrt{2})(x+\sqrt{3}-\sqrt{2})$，$g(x) = (x-\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 (x-\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$。公共因式为 $x-\sqrt{2}-\sqrt{3}$ 和 $x-\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
提示：注意 $f(x)$ 中 $x-\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 出现一次，$g(x)$ 中出现两次，取最低次幂。
步骤 4/4
目标：计算最大公因式
最大公因式为 $(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})$。展开得 $x^2 - 2\sqrt{2}x + (2-3) = x^2 - 2\sqrt{2}x - 1$。由于首项系数为1，即为首1最大公因式。
公式：$(x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab$
提示：计算 $ab$ 时注意 $(-\sqrt{2}-\sqrt{3})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2-3=-1$。
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