哈尔滨工程大学 2013年高等代数第2题
📝 题目
2．行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{lllll}5 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 5\end{array}\right|$ 中，第一行元素代数余子式之和为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题：求第一行元素代数余子式之和
设行列式为 $D$，第一行元素的代数余子式之和为 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}+A_{15}$。由于代数余子式与第一行元素的具体数值无关，我们可以通过构造一个新行列式来求此和。
公式：代数余子式定义：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
提示：注意代数余子式与余子式的区别，代数余子式带符号。
步骤 2/5
目标：构造新行列式：将第一行元素全部替换为1
将原行列式的第一行元素全部替换为1，得到新行列式：
$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 5 & 3 & 3 & 3 \\
3 & 3 & 5 & 3 & 3 \\
3 & 3 & 3 & 5 & 3 \\
3 & 3 & 3 & 3 & 5
\end{vmatrix}$$
根据行列式按第一行展开定理，这个新行列式的值恰好等于 $1\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+\cdots+1\cdot A_{15}=A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{15}$，即所求之和。
公式：行列式按行展开：$\det(A)=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$
提示：替换第一行元素时，其余行保持不变，因为代数余子式只依赖于去掉第一行和对应列后的子式。
步骤 3/5
目标：化简行列式：利用行变换将第一行以下元素化为零
将第一行乘以 $-3$ 后分别加到第二、三、四、五行，得到：
$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{vmatrix}$$
这一步利用了行变换不改变行列式值的性质（倍加变换）。
公式：行变换性质：将一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意倍加变换中，乘以的常数是 $-3$，而不是 $3$，因为要消去第一列下方的 $3$。
步骤 4/5
目标：计算上三角行列式的值
得到的是一个上三角行列式（实际上是对角线以下全为零），其值等于对角线元素的乘积：
$$1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$$
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。
提示：注意对角线上第一个元素是1，后面四个是2，不要漏乘或重复。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，原行列式第一行元素的代数余子式之和为 $16$。
提示：最终答案应填入空格：$\boxed{16}$。
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