哈尔滨工程大学 2013年高等代数第3题
📝 题目
3．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 2 \\ 8 & 0 & 4 \\ -10 & 0 & -5\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2015}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算特征多项式
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 8 & 0 & 4 \\ -10 & 0 & -5 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-4 & 0 & -2 \\ -8 & \lambda & -4 \\ 10 & 0 & \lambda+5 \end{pmatrix}$。按第二行展开：$\lambda \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-4 & -2 \\ 10 & \lambda+5 \end{pmatrix} = \lambda[(\lambda-4)(\lambda+5) + 20] = \lambda(\lambda^2 + \lambda -20 +20) = \lambda^3 + \lambda^2 = \lambda^2(\lambda+1)$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^2(\lambda+1)$
提示：按第二行展开时，注意第二行只有第二个元素非零，且符号为正。
步骤 2/6
目标：求特征值和特征向量
特征值为 $\lambda_1 = 0$（二重）和 $\lambda_2 = -1$。
对于 $\lambda = 0$，解 $(0I - A)x = 0$，即 $\begin{pmatrix} -4 & 0 & -2 \\ -8 & 0 & -4 \\ 10 & 0 & 5 \end{pmatrix} x = 0$，得 $2x_1 + x_3 = 0$，基础解系为 $\xi_1 = (1,0,-2)^T$，$\xi_2 = (0,1,0)^T$。
对于 $\lambda = -1$，解 $(-I - A)x = 0$，即 $\begin{pmatrix} -5 & 0 & -2 \\ -8 & -1 & -4 \\ 10 & 0 & 4 \end{pmatrix} x = 0$，得 $5x_1 + 2x_3 = 0$ 和 $8x_1 + x_2 + 4x_3 = 0$，基础解系为 $\xi_3 = (2,0,-5)^T$。
提示：解齐次方程组时，注意自由变量的选取，确保得到的向量线性无关。
步骤 3/6
目标：构造可逆矩阵P和对角矩阵Λ
令 $P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & -5 \end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \Lambda$。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$
提示：注意特征向量与特征值的对应顺序，确保对角矩阵的对角元与P的列顺序一致。
步骤 4/6
目标：计算P的逆矩阵
计算 $P^{-1}$：$\det(P) = 1\cdot(-5) - 2\cdot(-2) = -5 + 4 = -1$。伴随矩阵 $P^* = \begin{pmatrix} -5 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，所以 $P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} P^* = -\begin{pmatrix} -5 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} P^*$
提示：计算伴随矩阵时，注意代数余子式的符号和转置。
步骤 5/6
目标：计算A的2015次幂
利用对角化：$A^{2015} = P \Lambda^{2015} P^{-1} = P \begin{pmatrix} 0^{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0^{2015} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{2015} \end{pmatrix} P^{-1} = P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} P^{-1}$。
先计算 $P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$。
再右乘 $P^{-1}$：$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 10 & 0 & -5 \end{pmatrix}$。
公式：$A^{n} = P \Lambda^{n} P^{-1}$
提示：注意 $0^{2015}=0$，$(-1)^{2015}=-1$。矩阵乘法顺序不可颠倒。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
所以 $A^{2015} = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 10 & 0 & -5 \end{pmatrix}$。
提示：检查结果是否满足矩阵乘法的维度。
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