哈尔滨工程大学 2013年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $A$ 为 3 阶方阵，$\displaystyle |A|=2$ ，则 $\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A^{2}+3 A^{*} & 2 A^{*} \\ A & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{*}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用已知条件化简伴随矩阵
已知 $A$ 为3阶方阵，$|A|=2$，则 $A$ 可逆，且 $A^* = |A| A^{-1} = 2A^{-1}$。代入 $M$ 得：
$$M = \begin{pmatrix} A^2+3\cdot 2A^{-1} & 2\cdot 2A^{-1} \\ A & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^2+6A^{-1} & 4A^{-1} \\ A & 0 \end{pmatrix}.$$
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：注意 $A^*$ 与 $A^{-1}$ 的关系，$A^* = |A| A^{-1}$ 仅当 $A$ 可逆时成立。
步骤 2/6
目标：将问题转化为求 $|M|$ 和 $M$
由伴随矩阵性质，对可逆矩阵 $M$，有 $M^* = |M| M^{-1}$，因此 $(M^{-1})^* = |M^{-1}| (M^{-1})^{-1} = |M|^{-1} M$。所以只需求出 $|M|$ 和 $M$ 即可得到 $(M^{-1})^*$。
公式：$(M^{-1})^* = |M|^{-1} M$
提示：注意 $(M^{-1})^*$ 与 $M^*$ 的关系，不要混淆。
步骤 3/6
目标：利用分块矩阵行列式公式计算 $|M|$
对于分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}$，若 $P$ 可逆，则 $|M| = |P| \cdot |S - RP^{-1}Q|$。这里 $P = A^2+6A^{-1}$，$Q = 4A^{-1}$，$R = A$，$S = 0$。由于 $A$ 可逆，$P$ 是 $A$ 的多项式，可证 $P$ 可逆（因为 $|P| \neq 0$，后续可验证），故公式适用。
公式：$|M| = |P| \cdot |S - RP^{-1}Q|$
提示：使用分块行列式公式时，需确保 $P$ 可逆，否则需用其他方法。
步骤 4/6
目标：计算 $RP^{-1}Q$
由于 $A$ 与 $A^{-1}$ 可交换，且 $P = A^2+6A^{-1}$ 是 $A$ 的多项式，故 $P$ 与 $A$ 可交换。因此 $RP^{-1}Q = A \cdot P^{-1} \cdot 4A^{-1} = 4 P^{-1} A A^{-1} = 4 P^{-1}$。
公式：矩阵乘法结合律及交换性
提示：注意 $A$ 与 $P^{-1}$ 可交换是因为 $A$ 与 $P$ 可交换，从而 $A$ 与 $P^{-1}$ 也可交换。
步骤 5/6
目标：计算 $|M|$
代入得 $S - RP^{-1}Q = 0 - 4P^{-1} = -4P^{-1}$，所以 $|M| = |P| \cdot |-4P^{-1}| = |P| \cdot (-4)^3 |P^{-1}| = |P| \cdot (-64) \cdot |P|^{-1} = -64$。
公式：$|kA| = k^n |A|$，其中 $n$ 为阶数
提示：注意 $|-4P^{-1}| = (-4)^3 |P^{-1}|$，因为 $P^{-1}$ 是3阶矩阵。
步骤 6/6
目标：得到 $(M^{-1})^*$ 的表达式
由 $|M| = -64$，得 $(M^{-1})^* = |M|^{-1} M = -\frac{1}{64} M$。将 $M$ 用原表达式代回：
$$(M^{-1})^* = -\frac{1}{64} \begin{pmatrix} A^2+3A^* & 2A^* \\ A & 0 \end{pmatrix}.$$
公式：$(M^{-1})^* = |M|^{-1} M$
提示：最终结果需用题目中给出的 $A^*$ 表示，不要保留 $A^{-1}$。
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