哈尔滨工程大学 2013年高等代数第5题
📝 题目
5．多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 上定义内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 的一组标准正交基为 $\displaystyle f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定基与内积
取多项式空间 $\mathbb{R}[x]_2$ 的一组基 $\{1, x, x^2\}$，定义内积为 $(f,g)=\int_0^1 f(x)g(x)dx$。
公式：$(f,g)=\int_0^1 f(x)g(x)dx$
提示：注意内积是积分，积分区间为 $[0,1]$。
步骤 2/5
目标：正交化第一个向量
取 $f_1(x)=1$，计算其范数平方：$\|f_1\|^2 = \int_0^1 1^2 dx = 1$，故 $f_1$ 已是单位向量。
公式：$\|f\|^2 = (f,f)$
提示：单位向量要求范数为1，此处恰好为1。
步骤 3/5
目标：正交化第二个向量
令 $g_2(x)=x - \frac{(x, f_1)}{(f_1, f_1)} f_1$。计算 $(x, f_1)=\int_0^1 x \cdot 1 dx = \frac12$，$(f_1, f_1)=1$，所以 $g_2(x)=x - \frac12$。计算 $\|g_2\|^2 = \int_0^1 (x-\frac12)^2 dx = \frac{1}{12}$，故 $\|g_2\| = \frac{1}{2\sqrt{3}}$。因此 $f_2(x) = \frac{g_2(x)}{\|g_2\|} = 2\sqrt{3}(x-\frac12) = \sqrt{3}(2x-1)$。
公式：Gram-Schmidt: $g_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(v_k, f_i)}{(f_i, f_i)} f_i$，$f_k = \frac{g_k}{\|g_k\|}$
提示：注意计算内积时积分要准确，范数平方要开方。
步骤 4/5
目标：正交化第三个向量
令 $g_3(x)=x^2 - \frac{(x^2, f_1)}{(f_1, f_1)} f_1 - \frac{(x^2, f_2)}{(f_2, f_2)} f_2$。计算 $(x^2, f_1)=\int_0^1 x^2 dx = \frac13$，$(x^2, f_2)=\int_0^1 x^2 \cdot \sqrt{3}(2x-1) dx = \frac{\sqrt{3}}{6}$，$(f_2, f_2)=1$。所以 $g_3(x)=x^2 - \frac13 - \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3}(2x-1) = x^2 - x + \frac16$。计算 $\|g_3\|^2 = \int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 dx = \frac{1}{180}$，故 $\|g_3\| = \frac{1}{6\sqrt{5}}$。因此 $f_3(x) = \frac{g_3(x)}{\|g_3\|} = 6\sqrt{5}(x^2 - x + \frac16) = \sqrt{5}(6x^2-6x+1)$。
公式：同上
提示：计算 $(x^2, f_2)$ 时注意积分，展开平方时小心系数。
步骤 5/5
目标：得出标准正交基
得到一组标准正交基：$f_1(x)=1$，$f_2(x)=\sqrt{3}(2x-1)$，$f_3(x)=\sqrt{5}(6x^2-6x+1)$。题目已给 $f_1(x)=1$，故 $f_2(x)=\sqrt{3}(2x-1)$。
提示：检查每个向量是否单位化且正交。
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