哈尔滨工程大学 2013年高等代数第6题
📝 题目
6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，
基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), A_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ；
基（ I ）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), B_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ．
则在基（I）与基（I）下有相同坐标的矩阵的为 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ （ $k$ 为任意常数）．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定坐标变量
设矩阵 $X$ 在基(I)下的坐标为 $(x_1, x_2, x_3, x_4)^T$，在基(II)下的坐标为 $(y_1, y_2, y_3, y_4)^T$。由题意，存在非零矩阵 $X$ 使得 $(x_1, x_2, x_3, x_4)^T = (y_1, y_2, y_3, y_4)^T$，即 $X$ 在两组基下的坐标相同。设相同的坐标为 $(k_1, k_2, k_3, k_4)^T$。
提示：注意坐标向量是列向量，且两组基下的坐标相等。
步骤 2/6
目标：用基(I)表示矩阵X
将 $X$ 用基(I)线性表示：
$$X = k_1 A_1 + k_2 A_2 + k_3 A_3 + k_4 A_4 = k_1\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} + k_4\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k_1+k_2+k_3+k_4 & k_2+k_3+k_4\\k_3+k_4 & k_4\end{pmatrix}.$$
提示：矩阵加法时对应元素相加，注意系数与矩阵相乘。
步骤 3/6
目标：用基(II)表示矩阵X
将 $X$ 用基(II)线性表示：
$$X = k_1 B_1 + k_2 B_2 + k_3 B_3 + k_4 B_4 = k_1\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} + k_4\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k_1+k_3+k_4 & k_2+k_3+k_4\\k_1+k_2+k_3 & k_1+k_2+k_4\end{pmatrix}.$$
提示：注意基(II)中矩阵的具体元素，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：建立方程组
由于两种表示是同一个矩阵，对应元素相等，得到方程组：
$$\begin{cases}k_1+k_2+k_3+k_4 = k_1+k_3+k_4\\k_2+k_3+k_4 = k_2+k_3+k_4\\k_3+k_4 = k_1+k_2+k_3\\k_4 = k_1+k_2+k_4\end{cases}$$
提示：矩阵相等即每个对应位置元素相等，共四个方程。
步骤 5/6
目标：化简方程组
化简方程组：
第一个方程两边消去 $k_1+k_3+k_4$ 得 $k_2=0$。
第二个方程恒成立。
第三个方程移项得 $k_4 = k_1+k_2$。
第四个方程两边消去 $k_4$ 得 $0 = k_1+k_2$。
由 $k_2=0$ 和 $0=k_1+k_2$ 得 $k_1=0$。代入第三个方程得 $k_4=0$。
提示：注意移项时符号，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：得出解的形式
解得 $k_1=0, k_2=0, k_4=0$，$k_3$ 为自由变量。因此所有满足条件的矩阵为 $X = k_3 A_3 = k_3\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$，其中 $k_3$ 为任意常数。记 $k = k_3$，则 $X = k\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$。
提示：自由变量只有一个，因此解是一维子空间。
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